Dobře uspořádaná množina

Technology

12 hours ago

Author

V matematice se množina S nazývá dobře uspořádanou množinou, pokud má každá neprázdná část uspořádané množiny S nejmenší prvek. Uspořádání na množině S se pak nazývá dobré uspořádání.

Má-li každá neprázdná část A první prvek, pak, jak dokázal Ernst Zermelo, při přijmutí axiomu výběru do Zermelovy-Fraenkelovy axiomatizace teorie množin je možno dokázat, že každou množinu lze dobře uspořádat. Tento princip je znám jako princip dobrého uspořádání.

Příklady

Přirozená čísla s uspořádáním menší nebo rovno jsou dobře uspořádaná. * Celá čísla s uspořádáním menší nebo rovno nejsou dobře uspořádaná, jelikož například množina všech záporných čísel nemá nejmenší prvek. +more * Racionální čísla s uspořádáním menší nebo rovno nejsou dobře uspořádaná, jelikož například množina {1/2, 1/3, 1/4, 1/5, …} neobsahuje nejmenší prvek (nehraje roli, že nadmnožina prvek 0 - infimum - obsahuje) * Reálná čísla s uspořádáním menší nebo rovno nejsou dobře uspořádaná, jelikož například otevřený interval (0,1) nemá nejmenší prvek. Alternativně lze dobrou uspořádanost vyloučit podmnožinou jako u racionálních čísel.

* Ačkoli celá čísla s uspořádáním menší nebo rovno nejsou dobře uspořádaná, lze na nich vytvořit jiné uspořádání, které již dobré je. Například následující relace je dobré uspořádání: x z y, právě když |x| < |y| nebo (|x| = |y| a x ≤ y). +more Uspořádání pak vypadá následovně: 0 -1 1 -2 2 -3 3 -4 4 ….

Pokud je množina dobře uspořádaná, lze v ní použít důkazy pomocí transfinitní indukce.