Cesko.wiki Omezená množina
Author
Albert FloresPojem omezená množina lze definovat pro množiny reálných čísel nebo obecněji pro metrické prostory. Na reálných číslech, které jsou zároveň metrickým prostorem, jsou obě definice ekvivalentní.
Definice pro reálná čísla
Množinu A \subseteq \R označíme jako omezenou (ohraničenou) shora, existuje-li takové číslo a, že pro všechna x \in A platí x.
Existuje-li takové číslo a, že pro všechna x \in A platí x>a, pak množinu A označíme jako omezenou (ohraničenou) zdola.
Množina A, která je současně omezená zdola i shora, je omezená (ohraničená).
Definice v metrických prostorech
Je-li (M,\rho ) \,\. metrický prostor, pak množinu A \subseteq M \,\. +more nazveme omezenou, pokud existuje x\in M \,\. a reálné číslo r\in \R \,\. takové, že pro každé y\in A \,\. je \rho(x,y).
Na rozdíl od pojmu uzavřená množina, který není absolutní (tentýž metrický prostor může být uzavřený v jednom svém nadprostoru a neuzavřený v jiném), omezenost je absolutní pojem.
Totálně omezený metrický prostor je vždy omezený, opačně to však neplatí.
Omezená posloupnost
Posloupnost je omezená, pokud množina hodnot, kterých posloupnost nabývá, je omezená. Například posloupnost
: \left\{{{1}\over{n}}\right\}_n = 1,\, {{1}\over{2}} ,\, {{1}\over{3}} ,\, {{1}\over{4}} ,\, {{1}\over{5}} ,\, \dots \,\!
je omezená; příklad neomezné posloupnosti je \{\sqrt{n}\}_n \,\! nebo posloupnost
: \{n!\}_n = 1, 2, 6, 24, 120, 720 \dots \,\!