Totálně omezený metrický prostor

Nejobecnější definice Totálně omezeného metrického prostoru je:

podmnožina S prostoru X je totálně omezená tehdy a pouze tehdy, pokud pro danou velikost E existuje: * přirozené číslo n a soubor A_1, A_2, A_3,. A_n podmnožin množiny X, takový, že ** S je podmnožinou sjednocení těchto podmnožin (jinak řečeno, tento soubor podmnožin je konečné pokrytí množiny S) a ** každá podmnožina Ai má velikost E (nebo menší). +more V matematické symbolice: : \forall_{E}\; \exists_{n \in \mathbb{N}}\; \exists_{ A_{1}, A_{2}, \ldots, A_{n} \subseteq X}\left ( S \subseteq \bigcup_{i=1}^{n} A_{i} \; \mbox{a zároveň}\; \forall_{i = 1, \ldots, n}\; \mathrm{velikost}(A_{i}) \leq E \right ). \. .

Uvažujeme-li P=X, pak je prostor X totálně omezený tehdy a jen tehdy, je li P totálně omezená množina.

Porovnání s omezenou množinou

;Totální omezenost je silnější vlastnost, než omezenost.

Ukážeme to na příkladu. Uvažme prostor M všech omezených posloupností reálných čísel, kde metrika přiřadí dvojici posloupností a_i,\, b_i \,\. +more supremum z absolutní hodnoty jejich rozdílu přes všechny položky, tedy supremum z čísel \left|a_1-b_1\right | ,\, \left|a_2-b_2\right | \dots \,\. .

Uvažme množinu A\subseteq M těch posloupností, které na každé pozici mají 2 nebo -2.

Metrický prostor M není omezený (ačkoli obsahuje pouze omezené posloupnosti). Množina A je omezená, ale nikoli totálně omezená. +more Omezenost plyne z toho, že každý prvek A má od posloupnosti samých nul vzdálenost nejvýše 2. Kdyby byl totálně omezený, pak by pro \epsilon =1 \,\. existovala konečná \epsilon-síť S, jejíž prvky můžeme označit S(1), S(2), \dots S(m)\,\. , kde m je počet jejích prvků.

Pak by bylo možné definovat posloupnost c_n\,\. , definovanou takto: * c_i = -2 \,\. +more, pokud i \le m \,\. a S(i)_i\ge 0 \,\. * c_i = \,2 \,\. , pokud i \le m \,\. a S(i)_i * c_i = 0 \,\. , pokud i>m \,\.

Symbol S(i)_i značí i-tý prvek i-té posloupnosti v množině S. Myšlenka důkazu je v tom, že posloupnost c_n se musí "dostatečně lišit" od každé posloupnosti S(i)\,\. +more , čehož dosáhneme tak, že pro každé i vhodnou volbou c_i zajistíme dostatečnou odlišnost od posloupnosti S(i).

Z předpokladu totální omezenosti vyplývá, že nějaký prvek S(j) má od posloupnosti c_n\,\. vzdálenost menší, než 1. +more Z definice c_n\,\. však plyne, že číslo S(j)_j je od čísla c_j vzdálené nejméně 2, takže i vzdálenost těchto posloupností (což je supremum vzdáleností na jednotlivých položkách) musí být nejméně 2, což je spor.

Reference

Literatura

Související články

Kompaktní množina * Metrický prostor

Kategorie:Geometrie