Míra (matematika)

Míra je základním pojmem teorie míry. Z neformálního hlediska je míra zobecněním pojmů velikosti (délky, obsahu, objemu, případně i počtu). Míra je zvolený způsob, jakým se měří množiny. Mírou množiny se rozumí již konkrétní výsledek (číslo) přiřazený (naměřený) konkrétní množině tímto způsobem.

=== Přesná definice === Mějme měřitelný prostor (X, \Sigma). Množinovou funkci \mu: \Sigma \rightarrow \langle 0, \infty \rangle nazveme mírou, jestliže splňuje: * Míra prázdné množiny je nulová: \mu(\emptyset)=0. +more * Míra je vždy nezáporná: \forall A: \mu(A) \ge 0 * σ-aditivita: Pro libovolnou spočetnou posloupnost po dvou disjunktních množin (A_{i})_{i=1}^\infty, \ A_i \in \Sigma platí \mu(\bigcup_{i=1}^\infty A_{i})=\sum_{i=1}^\infty \mu(A_{i}).

Trojici (X, \Sigma, \mu) pak nazýváme prostor s mírou.

=== Vlastnosti míry === * A \subseteq B \Rightarrow \mu(A) \le \mu(B) * Pro posloupnost množin (A_i)_{i=1}^\infty platí: \mu(\bigcup_{1}^\infty A_{i}) \le \sum_{i=1}^\infty \mu(A_i) * Pro posloupnost podmnožin A_{1} \subseteq A_{2} \subseteq . platí: \mu(\bigcup_{1}^\infty A_{i})=\lim_{i \rightarrow \infty} \mu (A_{i}) * Naopak pro posloupnost nadmnožin: A_{1} \supseteq A_{2} \supseteq . +more pokud \mu(A_{1}) pak platí: \mu(\bigcap_{i=1}^\infty A_{i})=\lim_{i \rightarrow \infty} \mu (A_{i}).

=== Příklady měr === * Diracova míra \delta_{a}: Nechť X je neprázdná množina a a její prvek. Diracova míra \delta_{a} je definována na σ-algebře P(X) všech podmnožin množiny X předpisem: \delta_{a}(A)=\begin{cases} \mbox{0 pokud } a\notin A\\ \mbox{1 pokud } a\in A \end{cases} * Aritmetická míra * Lebesgueova míra * Hausdorffova míra * Lebesgue-Stieltjesovy míry

Odkazy

Literatura

Walter Rudin, Analýza v reálném a komplexním oboru * J. Lukeš, J. Malý: Míra a integrál (Measure and integral), skripta MFF

Související články

Neměřitelná množina * Lebesgueův integrál *Měřitelný kardinál

Externí odkazy

Kategorie:Teorie míry