Sigma algebra

\sigma-algebra (sigma-algebra, též \sigma-těleso) je v matematice libovolný neprázdný systém množin, který je uzavřený na spočetné sjednocení a na rozdíl dvou prvků a obsahuje sjednocení všech svých prvků. Prefix \sigma v názvu vyjadřuje uzavřenost na spočetné sjednocení.

Formální definice

Systém \mathcal{A} podmnožin množiny \mathcal{\Omega} nazveme \sigma-algebrou, jestliže obsahuje prázdnou množinu a je uzavřený na spočetné sjednocení a doplněk, tj.

# \emptyset\in\mathcal{A} # jestliže (\forall n \in \mathbb{N}) (M_{n} \in \mathcal{A}), pak \bigcup_{n=1}^{\infty} M_{n} \in \mathcal{A} # jestliže M \in \mathcal{A}, pak \Omega \setminus M \in \mathcal{A}

Další vlastnosti

\sigma-algebra obsahuje sjednocení všech svých prvků: \left(\bigcup_{M \in \mathcal{A}} M\right) \in \mathcal{A}; dostaneme dosazením prázdné množiny za M v poslední části definice * \sigma-algebra je uzavřená na spočetný průnik svých prvků: jestliže (\forall n \in \mathbb{N}) (A_{n} \in \mathcal{R}), pak \bigcap_{n=1}^{\infty} A_{n} \in \mathcal{R}

Použití

Koncept \sigma-algebry je důležitý především v teorii míry a v teorii pravděpodobnosti. Míra je libovolná nezáporná množinová funkce, která je \sigma-aditivní a má na prázdné množině hodnotu 0. +more Pravděpodobnost je míra, která má na univerzální množině \Omega hodnotu 1.

Měřitelná množina

V teorii míry se dvojice (\Omega,\mathcal{A}) , kde \Omega je libovolná množina a \mathcal{A} je \sigma-algebra na \Omega nazývá měřitelný prostor a množiny \mathcal{S} \in \mathcal{A} nazýváme měřitelné množiny.

Související články

\sigma-okruh * Pravděpodobnost

Kategorie:Teorie množin Kategorie:Systémy množin Kategorie:Teorie míry Kategorie:Algebraické struktury