Sigma okruh

\sigma-okruh (sigma-okruh) je v matematice libovolný neprázdný systém množin, který je uzavřený na spočetné sjednocení a na rozdíl dvou prvků. Prefix \sigma v názvu vyjadřuje uzavřenost na spočetné sjednocení.

Definice

Systém množin \mathcal{R} je \sigma-okruh, pokud splňuje následující vlastnosti:

# \mathcal{R} \neq \empty # jestliže (\forall n \in \mathbb{N}) (A_{n} \in \mathcal{R}), pak \bigcup_{n=1}^{\infty} A_{n} \in \mathcal{R} # jestliže A, B \in \mathcal{R}, pak A \setminus B \in \mathcal{R}

Někdy se jako \sigma-okruh označuje uspořádaná dvojice (X, \mathcal{R}), kde X je libovolná množina a \mathcal{R} \subseteq \mathcal{P}(X) je nějaký systém jejích podmnožin, který splňuje výše uvedené vlastnosti.

Vlastnosti

každý \sigma-okruh obsahuje prázdnou množinu * \sigma-okruh je uzavřený na spočetný průnik svých prvků, tj. pro (\forall n \in \mathbb{N}) (A_{n} \in \mathcal{R}) platí \bigcap_{n=1}^{\infty} A_{n} \in \mathcal{R}

Použití

Koncept \sigma-okruhu je důležitý především v teorii míry, kde se používá místo \sigma-algebry, pokud není potřeba, aby univerzální množina byla měřitelná.

Související články

\sigma-algebra

Kategorie:Algebraické struktury