Sigma algebra

\sigma-algebra (sigma-algebra, též \sigma-těleso) je v matematice libovolný neprázdný systém množin, který je uzavřený na spočetné sjednocení a na rozdíl dvou prvků a obsahuje sjednocení všech svých prvků. Prefix \sigma v názvu vyjadřuje uzavřenost na spočetné sjednocení.

Definice

Systém \mathcal{A} podmnožin množiny X nazveme \sigma-algebrou, jestliže obsahuje prázdnou množinu a je uzavřený na spočetné sjednocení a doplněk, tj.:

# \emptyset\in\mathcal{A} # jestliže (\forall n \in \mathbb{N}) (A_{n} \in \mathcal{A}), pak \bigcup_{n=1}^{\infty} A_{n} \in \mathcal{A} # jestliže A \in \mathcal{A}, pak X \setminus A \in \mathcal{A}

Vlastnosti

\sigma-algebra obsahuje sjednocení všech svých prvků, tj. : X \in \mathcal{A}, což dostaneme dosazením prázdné množiny za A v poslední části definice * \sigma-algebra je uzavřená na spočetný průnik svých prvků, tj. +more pro (\forall n \in \mathbb{N}) (A_{n} \in \mathcal{A}) platí \bigcap_{n=1}^{\infty} A_{n} \in \mathcal{A}.

Použití

Koncept \sigma-algebry je důležitý především v teorii míry a v teorii pravděpodobnosti. Míra je libovolná nezáporná funkce, která je \sigma-aditivní a má na prázdné množině hodnotu 0. +more Pravděpodobnost je míra, která má na množině X hodnotu 1.

Měřitelná množina

V teorii míry se dvojice (X,\mathcal{A}), kde X je libovolná množina a \mathcal{A} je \sigma-algebra na X nazývá měřitelný prostor a množiny \mathcal{A} \in \mathcal{A} nazýváme měřitelné množiny.

Související články

\sigma-okruh

Kategorie:Algebraické struktury