Měřitelný prostor

Měřitelný prostor neboli borelovský prostor je v matematice základní objekt teorie míry. Sestává z libovolné neprázdné množiny a \sigma-algebry na této množině. Měřitelný prostor poskytuje informace o tom, které množiny (podmnožiny základní množiny) lze měřit.

Definice

Uvažujme neprázdnou množinu X a \sigma-algebru \mathcal A na X . Pak uspořádanou dvojici (X, \mathcal A) nazýváme měřitelný prostor.

Měřitelný prostor určuje, které podmnožiny základní množiny jsou měřitelné, ale na rozdíl od prostoru s mírou nedefinuje žádnou konkrétní míru.

Příklad

Uvažujme množinu :X= \{1,2,3\}. Jedna z možných \sigma-algeber je :\mathcal A_1=\{X, \emptyset\}. +more Pak (X,\mathcal A_1) je měřitelný prostor. Další možnou \sigma-algebrou je potenční množina množiny X: : \mathcal A_2= \mathcal P(X). Díky tomu jiný měřitelný prostor na množině X je (X, \mathcal A_2).

Obvyklé měřitelné prostory

Pokud X je konečná nebo spočetná nekonečná množina, pak obvyklou \sigma-algebrou je potenční množina množiny X, tj. \mathcal A= \mathcal P(X). +more Měřitelný prostor je pak (X, \mathcal P(X)).

Pokud X je topologický prostor, \sigma-algebra může být borelovská \sigma-algebra \mathcal B, \mathcal A= \mathcal B(X). Měřitelný prostor je pak (X, \mathcal B(X)), který je obvyklý pro všechny topologické prostory včetně množiny všech reálných čísel \R.

Různý význam borelovských prostorů

Termín borelovský prostor se používá pro různé typy měřitelných prostorů. Může znamenat:

* jakýkoli měřitelný prostor, tj. být synonymem pro měřitelný prostor jak je definovaný výše * měřitelný prostor, který je borelovsky izomorfní s nějakou měřitelnou podmnožinou reálných čísel (která je borelovskou \sigma -algebrou).

Odkazy

Reference

Související články

Borelovská množina * Sigma algebra * Prostor s mírou * Pravděpodobnostní prostor * Náhodná veličina * Teorie míry

Kategorie:Teorie míry