Prostor s mírou

Prostor s mírou je množina X, ve které chceme měřit „plošné obsahy“ (ve trojrozměrném případě „objemy“, v jednorozměrném případě „délky“, obecně „velikosti“), s mírou, jakožto funkcí, která podmnožinám X přiřazuje jejich „velikost“. Prostory s mírou jsou základním předmětem zájmu teorie míry, což je odvětví matematiky, které se zabývá zobecněním pojmu objemu. Na teorii míry je vystavěna moderní teorie integrálu a využívá ji i jeden ze dvou hlavních přístupů k teorii pravděpodobnosti vycházející z pojmu pravděpodobnostní prostor, což je prostor s mírou, která výsledkům náhodného pokusu přiřazuje jejich pravděpodobnosti.

Požadavek na měřitelnost všech podmnožin libovolné množiny X může vést k Banachově-Tarského paradoxu, proto se používá složitější definice, v níž není vyžadováno, aby všechny podmnožiny X byly měřitelné. Podle této definice je prostor s mírou tvořen třemi složkami: * množinou X, jejíž části chceme měřit, * souborem všech měřitelných podmnožin množiny X, a * funkcí přiřazující každé měřitelné množině její „velikost“ - nějakou nezápornou hodnotu, která může být i nekonečná.

Definice

Prostor s mírou je uspořádaná trojice (X, \mathcal A, \mu), kde * X je nějaká množina * \mathcal A je sigma-algebra na množině X * \mu je nějaká míra na (X, \mathcal A)

Jednoduše lze říct, že prostor s mírou je měřitelný prostor (X, \mathcal A) s mírou na (X, \mathcal A).

Příklad

Uvažujme množinu X = \{0, 1\}. Na konečných množinách bývá \sigma-algebra obvykle celá potenční množina, neboli množina všech podmnožin dané množiny značená \mathcal{P}(\cdot). +more Nechť :\mathcal{A} = \mathcal{P}(X).

V tomto jednoduchém případě lze potenční množinu vypsat výčtem prvků: :\mathcal{P}(X) = \{\emptyset, \{0\}, \{1\}, \{0, 1\}\}.

Míru \mu definujeme takto :\mu(\{0\}) = \mu(\{1\}) = \frac{1}{2},

takže \mu(X) = 1 (díky aditivitě míry) a \mu(\emptyset) = 0 (z definice míry).

Tím dostaneme prostor s mírou (X, \mathcal{P}(X), \mu). Tento prostor je pravděpodobnostním prostorem, protože \mu(X) = 1. +more Míra \mu odpovídá alternativnímu (Bernoulliho) rozdělení s p = \frac{1}{2}, které se používá například jako model házení poctivou mincí.

Důležité prostory s mírou

Konečně měřitelné prostory jsou prostory vybavené konečnou mírou. * Pravděpodobnostní prostory jsou konečně měřitelné prostory vybavené pravděpodobnostní mírou, tj. +more takovou mírou, která celé množině X přiřazuje míru 1. * \sigma-konečně měřitelné prostory jsou prostory, jejichž míra je σ-konečná. * Úplně měřitelné prostory jsou prostory vybavené úplnou mírou.

Odkazy

Poznámky

Reference

Související články

Měřitelný prostor * Pravděpodobnostní prostor * Míra (matematika) * Sigma algebra * Lebesgueova míra

Kategorie:Teorie míry