Cesko.wiki Σ-konečná míra
Author
Albert Floresσ-konečná míra je v teorii míry označení takové míry, která je definována na σ-algebře \Sigma tvořené podmnožinami množiny X, přičemž platí, že X lze vyjádřit jako spočetné sjednocení množin o konečné míře.
Formální definice
Nechť (X,\mathcal{A}) je měřitelný prostor s mírou \mu. Pak se \mu nazývá σ-konečná, pokud splňuje jednu z následujících čtyř ekvivalentních podmínek:
# Množinu X je možno pokrýt spočetnou množinou měřitelných množin o konečné míře. Tedy existují množiny A_1, A_2, \ldots \in \mathcal A , kde \mu\left(A_n\right) pro všechna n \in \N a přitom \bigcup_{n \in \N} A_n = X # Množinu X je možno pokrýt spočetnou množinou navzájem disjunktních množin o konečné míře. +more Tedy existují B_1, B_2, \ldots \in \mathcal A , kde \mu\left(B_n\right) a n \in \N a B_i \cap B_j = \varnothing pro i \neq j , které splňují \bigcup_{n \in \N} B_n = X . # Množinu X je možno pokrýt monotónní posloupností měřitelných množin o konečné míře. Tedy existují množiny C_1, C_2, \ldots \in \mathcal{A} s C_1 \subset C_2 \subset \cdots splňující \mu\left(C_n\right) pro všechna n \in \N , přičemž platí \bigcup_{n \in \N} C_n = X . # Existuje kladná měřitelná funkce f, jejíž integrál je konečný, tedy: f(x) > 0 pro všechna x \in X a \int f(x) \mu(\mathrm{d}x).