Uspořádaná n-tice

Jako uspořádaná n-tice se v matematice označuje uspořádaný seznam konečného počtu n objektů (je proto možné se také setkat s pojmy jako uspořádaná k-tice apod., konkrétní varianty se pak nazývají uspořádané dvojice, uspořádané trojice atd.). Zapisuje se obvykle jako seznam těchto prvků, uzavřený do kulatých závorek. Termín "uspořádaná" zde přitom v podstatě neznamená nic jiného, než že u dané množiny prvků záleží na jejich pořadí (v kombinatorice pak jde o tzv. variaci).

Neuspořádaná n-tice (případná k-tice) znamená, že na pořadí nezáleží (pak se v kombinatorice jedná o tzv. kombinaci); v případě, že jde o kombinaci bez opakování, je každá kombinace v podstatě jednou z podmnožin dané množiny.

Vlastnosti

Hlavní vlastnosti, které uspořádanou n-tici odlišují od množiny jsou:

* uspořádaná n-tice může jeden objekt obsahovat vícekrát, * závisí na pořadí objektů. Tedy např. +more zatímco neexistuje množina {2, 2} (resp. je možné ji chápat jako totožnou s množinou {2}), je uspořádaná dvojice (2, 2) dobře definovaná a různá od jednoprvkové n-tice (2). Obdobně, množina {1, 2} je totožná s množinou {2, 1}, zatímco uspořádaná dvojice (1, 2) se uspořádané dvojici (2, 1) nerovná. Rovnost dvou uspořádaných n-tic je totiž definována jako : \left( a_1, a_2, \dots, a_n \right) = \left( b_1, b_2, \dots, b_n \right) \Leftrightarrow a_1 = b_1, a_2 = b_2, \dots, a_n = b_n.

Formální definice

Zatímco intuitivně je význam pojmu jasný, v rámci exaktnosti (zejména v axiomatické teorii množin) je nutno jej definovat pomocí množin.

Často se používá tato definice: ::: (a,b) = \{ \{a\}, \{a,b\} \} \,\!

Potom lze uspořádanou n-tici (pro n > 2) chápat jako uspořádanou dvojici prvního prvku a zbytku, kterým je uspořádaná (n−1)-tice:

::: ( a, b, c ) = ( a, ( b,c )) \,\! ::: ( a, b, c,d ) = ( a, (b,c,d )) \,\! ::: \left( a_1, a_2, \dots, a_n \right) = \left( a_1, \left( a_2, \dots, a_n \right) \right) \,\!

Tato definice má však nevýhodu, že uspořádanou 0-tici a 1-tici je nutno definovat nějak extra. Přitom 0-tice a 1-tice jsou často praktické, aby bylo možné o pojmech jako n-ární operace nebo lineární kombinace n vektorů mluvit jednotně pro jakékoli n \ge 0 .

Proto se někdy uspořádané n-tice definují tak, aby přechod od n-tice ke (n+1)-tici byl tentýž pro všechna n \ge 0 :

# Uspořádaná 0-tice je definována jako prázdná množina ∅. # Pokud x je uspořádaná n-tice, pak {{a}, {a, x}} je uspořádaná (n+1)-tice, začínající prvkem a a pokračující prvky n-tice x.

Podle této definice je např. uspořádaná trojice (1, 2, 2) definována jako: :

Využití

Uspořádané n-tice se využívají k formální definici velkého množství matematických objektů, jejichž význam je sice jasný i bez nich, ale je nutné je definovat nějak formálně. Například: * Binární relace mezi množinami A, B je intuitivně chápana jako jakýkoli vztah (například "bod leží na úsečce"); formálně se definuje jako množina uspořádaných dvojic (a,b) takových, že a a b jsou v relaci (v množině budou tedy uvedeny všechny dvojice (bod, přímka) takové, že bod leží na dotyčné přímce). +more Totéž platí i o relacích jiné arity. * Totéž platí i pro zobrazení, neboť to je speciálním případem relace. Význam pojmu "funkce y = 3x-1" je sice intuitivně zřejmý, ovšem formálně se jedná o množinu uspořádaných dvojic \{ (0,-1), (1,2), (2,5),(3,8),(4,11) \ldots \}\,\. . * N-tice se v matematice používají pro definice objektů, které se skládají z nějakých oddělených částí, například konečný automat, gramatika v teorii automatů apod.

Využití v matematických strukturách

Matematické struktury se formálně definují jako uspořádané n-tice, kde prvním prvkem je nosná množina a následuje informace popisující strukturu této množiny. Např. +more graf je definován jako uspořádaná dvojice (V, E), ve které V je množina vrcholů a E je množina hran. Podobné je tomu u algebraických struktur, jako je např. grupa.

Tento formalismus je nezbytný, neboť otázka "Je grupa celých čísel \mathbb{Z} izomorfní s grupou kladných racionálních čísel \mathbb{Q}^{+}. " je nesprávně položená, přestože jí každý rozumí, neboť na každé z těchto množin existuje (mezi mnoha možnými) jeden obvyklý způsob, jak zavést grupovou operaci. +more Tyto množiny s obvyklými operacemi izomorfní nejsou, ale jelikož mezi nimi existuje bijekce, lze na \mathbb{Q^{+}} definovat operaci \tilde{+} tak, aby izomorfní byly.

Správné je tedy říci: Grupa (\mathbb{Z},+) \,\! není izomorfní s grupou \mathbb{(Q^{+}}, . \,\!), ale je izomorfní s grupou (\mathbb{Q}^{+}, \tilde{+}) \,\!.

Využití k odlišení objektů

V matematice se provádí mnoho konstrukcí, při nichž potřebujeme do množiny C zahrnout prvky z množin A a B tak, aby u prvků x\in A\bigcap B bylo možné v C odlišit "prvek převzatý z A" od "prvku převzatého z B". To lze formálně provést tak, že :: C = \{ (a,0) | a \in A\} \;\bigcup\; \{ (b,1) | b \in B\} .

Tedy před každý prvek z A vložíme (formou uspořádané dvojice) nějaký matematický objekt, který značí "tento prvek pochází z A " (v našem případě jsme k tomu použili číslo 0) a obdobně s množinou B. Vytčeného cíle jsme dosáhli, neboť (x,0)\,\text{a}\,(x,1) jsou dva různé matematické objekty.

Příklad: Orientovaný graf a neorientovaný graf jsou někdy pokládány za speciální případy obecného grafu, který může obsahovat orientované i neorientované hrany. Zdánlivě evidentní způsob, jak tuto definici formalizovat, by byl říci, že graf je uspořádaná dvojice (V,N) taková, že každý prvek N je tvaru * buď (a,b), kde a,b \in V \,\. +more (orientovaná hrana) * nebo \{a,b\}, kde a,b\in V, a \neq b \,\. (neorientovaná hrana).

Tato definice je ovšem nepoužitelná, pokud pro nějaké a,b,c,d \in V, c\neq d \,\. platí (a,b) = \{c,d\} \,\. +more . Pak by o nějakém prvku N nebylo možno určit, zda jde o orientovanou hranu z a do b nebo o neorientovanou hranu mezi c a d.

To, zda uspořádaná dvojice může být totožná s nějakou množinu, samozřejmě závisí na definici pojmu "uspořádaná dvojice". V naivní teorii množin je zvykem se touto definicí nezabývat a předpokládat, že uspořádaná dvojice je jiný druh objektu než množina. +more Pak tento problém nemůže nastat.

Pokud však potřebujeme chceme s těmito pojmy pracovat exaktně, pak je nutné uspořádané dvojice formálně definovat a výš uvedený stav nastat může. Ošetřit ho lze tak, že každý prvek N bude tvaru

* buď ((a,b), \, 0), kde a,b \in V \,\! (orientovaná hrana) * nebo (\{a,b\}, \, 1), kde a,b\in V, a \neq b \,\! (neorientovaná hrana)

To popsaný problém spolehlivě řeší.

Související články

Množina * Multimnožina * Kombinace * Variace (kombinatorika) * Kombinatorika

Kategorie:Teorie množin Kategorie:Kombinatorika