Měřitelný kardinál

Technology

12 hours ago

Author

Měřitelný kardinál je matematický pojem z oblasti teorie množin (kardinální aritmetiky). Patří mezi velké kardinály.

Definice

Řekneme, že kardinální číslo \kappa je měřitelné, je-li nespočetné a existuje-li na \kappa netriviální \kappa-úplný ultrafiltr, tj. ultrafiltr uzavřený na průniky méně než \kappa množin.

Vlastnosti

Měřitelný ultrafiltr

Každý netriviální \kappa-úplný ultrafiltr \mathcal{U} na \kappa definuje \,\kappa^{-aditivní (tj. takovou, že míra sjednocení méně než \kappa množin míry 0 je množina míry 0) dvouhodnotovou míru předpisem \mu(X)=1 pro X\in \mathcal{U} a \mu(X)=0 jinak. +more Obráceně každá taková míra definuje (inverzní formulí) nějaký netriviální \kappa-úplný ultrafiltr na \kappa. Proto se někdy měřitelný kardinál definuje jako takový kardinál \kappa, na němž existuje \,\kappa^{-aditivní dvouhodnotová míra.

Z důvodů naznačených v předchozím odstavci se netriviální \kappa-úplný ultrafiltr na nespočetném kardinálu \kappa nazývá měřitelný ultrafiltr na \kappa nebo jen míra na \kappa.

Základní, jednoduše dokazatelnou a často užívanou vlastností měřitelného kardinálu je jeho uniformita.

Měřitelný kardinál

Každý měřitelný kardinál je Ramseyův a tedy nedosažitelný.

Stanislaw Ulam dokázal roku 1930 ve své práci Zur Masstheorie in der allgemeinen Mengenlehre, že pokud je \kappa nejmenší nespočetný kardinál takový, že na něm existuje \alef_{1}-úplný ultrafiltr, pak \kappa je měřitelný kardinál.

Pravděpodobně nejužitečnější metodu prokazování vlastností měřitelného kardinálu objevil počátkem 60. let +more_století'>20. století Alfréd Tarski. Tato metoda spočívá v zavedení lineárního uspořádání na množině \,\kappa^{\kappa} všech funkcí z \kappa do \kappa pro měřitelný kardinál \kappa takto: Nechť \mathcal{U} je měřitelný ultrafiltr na \kappa. Pro funkce f,g \in \kappa^{\kappa} definujeme * f právě když \{x\in \kappa ; f(x) * f =^{\mathcal{U}} g právě když \{x\in \kappa ; f(x)=g(x)\}\in \mathcal{U} * f \leq^{\mathcal{U}} g právě když f nebo f =^{\mathcal{U}} g * \,k_a, kde a\in \kappa, je taková funkce, která splňuje \,k_{a}(x)= a pro všechna \,x\in \kappa * funkce f je první za konstantami, je-li k_a pro všechna a\in \kappa a kdykoli g , pak g =^{\mathcal{U}} k_a pro nějaké a\in \kappa.

Tarski pak dokázal následující větu: Je-li \kappa měřitelný kardinál, pak na \kappa existuje měřitelný ultrafiltr \mathcal{U} takový, že identita na \kappa (fce \,id(x), že \,id(x)=x pro x\in \kappa) je první za konstantami.

Volbou takovéhoto měřitelného ultrafiltru lze pak například dokázat, že před každým měřitelným kardinálem \kappa leží právě \kappa nedosažitelných kardinálů.