Ultrafiltr
Author
Albert FloresUltrafiltr je matematický pojem z oboru teorie množin.
Definice
Je-li X \,\. množina a \mathbb{P}(X) \,\. +more její potenční množina (tj. množina všech jejích podmnožin), pak řekneme, že neprázdná množina F \subseteq \mathbb{P}(X) \,\. je ultrafiltr, pokud platí:.
# F \,\. neobsahuje prázdnou množinu # A,B \isin F \implies A \cap B \isin F \,\. +more # (A \isin F \land A \subseteq B) \implies B \isin F \,\. # ( \forall A \isin \mathbb{P}(X)) (A \isin F \vee X-A \isin F) \,\.
Vysvětlení definice
Podle bodu 2 je ultrafiltr dolů usměrněná množina, podle bodu 3 je to horní množina - jedná se tedy o filtr v potenční algebře.
Bod 1 a podmínka, podle které je ultrafiltr neprázdná množina, zaručují, že se jedná o vlastní filtr - ultrafiltr tedy není žádný z triviálních případů, kterými jsou prázdná množina a celá potenční množina \mathbb{P}(X) \,\!
Podle bodu 4 je v ultrafiltru obsažena podmnožina A \subseteq X \,\. nebo její doplněk (X-A) \subseteq X \,\. +more . Pokud by pro některou množinu A \subseteq X \,\. obsahoval ultrafiltr tuto množinu, i její doplněk, pak by musel podle bodu 2 obsahovat i A \cap (X-A) = \emptyset \,\. , a podle bodu 1 by se již nejednalo o ultrafiltr. Ultrafiltr tedy vždy obsahuje buď množinu, nebo její doplněk, ale nikdy ne obojí zároveň.
Tato vlastnost tedy zaručuje, že ultrafiltr je mezi ostatními vlastními filtry na potenční množině v jistém smyslu maximální - jakmile bychom se pokusili přidat k němu další množinu, pak výsledkem již nebude ultrafiltr, výsledkem již dokonce nebude ani filtr.
Zjednodušeně řečeno, ultrafiltr „seká“ celou potenční množinu na dvě části. Z každé dvojice podmnožina - její doplněk vybírá právě jednu možnost.
Příklady a vlastnosti
Triviální ultrafiltr
Za hlavní filtr považujeme filtr všech nadmnožin nějaké množiny A \subseteq X \,\! , hlavní filtr určený množinou A \,\! tedy lze zapsat jako
F(A) = \{ B \subseteq X : A \subseteq B \} \,\!
Mezi hlavními filtry existují ultrafiltry - jsou to hlavní filtry určené jednoprvkovou množinou A = \{a \} \,\! , kde a \isin X \,\! . Tyto ultrafiltry jsou nazývány triviální ultrafiltry.
Na konečné množině je každý ultrafiltr triviální - celkový počet ultrafiltrů tedy odpovídá počtu prvků množiny X \,\! .
Na nekonečné množině odpovídá počet triviálních ultrafiltrů mohutnosti množiny X \,\! .
Uniformní ultrafiltr
Ultrafiltr \mathcal{U} na množině X se nazývá uniformní, má-li každá množina A \in \mathcal{U} mohutnost rovnou mohutnosti množiny X. Zřejmě každý uniformní ultrafiltr je netriviální.
Základní věta o ultrafiltrech
Nabízí se otázka, zda na nekonečné množině existují nějaké netriviální ultrafiltry. Kladnou odpověď dává základní věta o ultrafiltrech:
Každý centrovaný systém lze rozšířit do ultrafiltru.
Protože filtr je speciálním případem centrovaného systému, lze podle této věty každý filtr rozšířit (přidáním nějakých dalších podmnožin) na ultrafiltr. Vezmeme-li v úvahu například Fréchetův filtr a aplikujeme na něj tuto větu, získáváme důkaz o existenci ultrafiltru, který určitě není triviální.
Důkaz této věty podstatným způsobem používá princip maximality - větu nelze dokázat bez přijetí axiomu výběru nebo nějaké jeho obdoby.
Dualita s prvoideálem
Stejně jako u většiny pojmů z teorie uspořádání, má i ultrafiltr svůj duální pojem - prvoideál. Ke každému ultrafiltru F \,\. +more existuje duální prvoideál - množina všech doplňků z F \,\. :.
F^* = \{ X-A : A \isin F \} \,\!
Vztah platí i opačně - množina doplňků k prvoideálu je ultrafiltr - duální ultrafiltr. Navíc je každý ultrafiltr duálním ultrafiltrem svého duálního prvoideálu, tj. platí
(F^*)^* = F \,\!