Cesko.wiki Centrovaný systém
Author
Albert FloresCentrovaný systém je matematický pojem z oboru teorie množin, týkající se konkrétně studia systémů podmnožin nějaké dané množiny.
Definice
Předpokládejme, že S \,\. je množina podmnožin množiny X \,\. +more (někdy se také říká, že S \,\. je systém množin na X \,\. ), tj. S \subseteq \mathbb{P}(X) \,\. , kde \mathbb{P}(X) \,\. je potenční množina množiny X \,\. . O množině S \,\. řekneme, že se jedná o centrovaný systém, pokud je průnik každé její konečné podmnožiny neprázdný:.
( \forall y_1,y_2,\ldots,y_n \isin S)( y_1 \cap y_2 \cap \ldots \cap y_n \neq \emptyset) \,\!
Vlastnosti a příklady
Triviální centrovaný systém
Pokud má celý systém S \,\! neprázdný průnik, pak je centrovaný - pro jeho libovolnou neprázdnou podmnožinu Y \subseteq S \,\! (nejen konečnou) platí
\emptyset \neq \bigcap S \subseteq \bigcap Y \implies \emptyset \neq \bigcap Y \,\!
Netriviální centrovaný systém
Otázka zní, zda existují i nějaké netriviální centrované systémy - tj. takové, že \bigcap S = \emptyset \,\! , ale přitom je systém (vzhledem ke konečným podmnožinám) centrovaný.
Uvažujme o nekonečném systému množin přirozených čísel
S = \{ u_1,u_2,u_3,u_4,\ldots \} \,\. , kde u_i \,\. +more je množina všech nenulových násobků čísla i \,\. , tj. * u_1 = \{ 1,2,3,\ldots \} \,\. * u_2 = \{ 2,4,6,\ldots \} \,\. * u_3 = \{ 3,6,9,\ldots \} \,\. * u_4 = \{ 4,8,12,\ldots \} \,\. * \ldots \,\. .
Jedná se o centrovaný systém - vezmeme-li jakoukoliv jeho konečnou podmnožinu a určíme číslo k \,\. jako nejmenší společný násobek indexů prvků této konečné podmnožiny S \,\. +more (například pro \{ s_3, s_5, s_6, s_8 \} \,\. je k = 120 \,\. ), pak u_k \,\. je (neprázdným) průnikem této podmnožiny.
Navíc se jedná o netriviální centrovaný systém - pokud by byl průnik celého systému \bigcap S \,\. neprázdný, pak by muselo existovat nějaké přirozené číslo n \isin \bigcap S \,\. +more a tím pádem by muselo mimo jiné být n \isin u_{n+1} \,\. , což je nesmysl.
Vztah centrovaných systémů a filtrů
Jedním z příkladů pro centrovaný systém jsou filtry. Filtr má nejen neprázdný průnik každé konečné podmnožiny - z podmínky, že filtr musí být dolů usměrněná množina dokonce plyne, že filtr musí sám v sobě obsahovat všechny průniky svých konečných podmnožin.
To pro centrovaný systém platit nemusí - například systém \{ \{0,1,2 \},\{ 1,2,3 \} \} \,\. je centrovaný, ale rozhodně to není dolů usměrněná množina (neobsahuje totiž množinu \{1,2 \} = \{0,1,2 \} \cap \{ 1,2,3 \} \,\. +more . Stejně tak nemusí centrovaný systém obsahovat s každou svou množinou i každou její nadmnožinu - nemusí to tedy být horní množina, kdežto filtr ano. To znamená, že zdaleka ne každý centrovaný systém je filtrem.
Na druhou stranu lze každý centrovaný systém S \subseteq \mathbb{P}(X) \,\! rozšířit do nějakého filtru na množině X \,\! . Snadno lze ukázat, že množina
F(S) = \{ Y \subseteq X : (\exist Q \isin [S]^{
je nejmenší filtr na X \,\! , který v sobě obsahuje S \,\! .
Výše uvedený zápis vypadá sice hrůzostrašně, ale říká v podstatě toto: # Vezmu centrovaný systém S \,\. . +more # Přidám k němu všechny průniky jeho konečných podmnožin (čímž dostanu dolů usměrněnou nadmnožinu S \,\. ). # K výsledku pak přidám pro každý její prvek i všechny jeho nadmnožiny (čímž dostanu horní nadmnožinu S \,\. , která je stále dolů usměrněná, takže výsledek je filtr).
Hlavní věta o ultrafiltrech
Úvaha provedená v předchozím odstavci vlastně neříká nic jiného, než že každý centrovaný systém lze rozšířit (přidáním dalších množin) na filtr. Pokud tento poznatek zkombinuji s tím, že každý filtr lze (podle principu maximality rozšířit do ultrafiltru, dostávám tvrzení nazývané v teorii množin hlavní věta o ultrafiltrech:
Každý centrovaný systém lze rozšířit do ultrafiltru.