Hausdorffova míra

Hausdorffova míra (dále \mathbf{H}^s) je „nížedimenzionální“ míra na \mathbb{R}^n, která dovoluje měřit jisté „velmi malé“ podmnožiny \mathbb{R}^n. Zavedl ji Felix Hausdorff. Základní myšlenkou je, že množina \mathbf{A} je „s-dimenzionální“ podmnožina množiny \mathbb{R}^n, platí-li

0,

i když \mathbf{A} je velmi komplikovaná. \mathbf{H}^s je definovaná jako výraz obsahující součet průměrů dobrého spočetného pokrytí.

Formální definice Hausdorffovy míry

Definice: Nechť \mathbf{A}\subset\mathbb{R}^n,0\leq s Definujme

(i)\, \mathbf{H}^s_\delta(A)=\inf \left \{ { \sum^{\infty}_{i=1} \alpha(s)\left( \frac{\mathrm{diam}(C_i)}{2} \right)^{\. \. +more s} } \; \Big| \, { A\subset{\bigcup^\infty_{j=1}C_j}, \mathrm{diam}(C_j)\leq\delta } \right\},.

kde

\alpha(s)=\frac{\pi^{\frac{s}{2}}}{\Gamma(\frac{s}{2}+1)}

tady

\Gamma(r)=\int_0^\infty e^{-x}x^{r-1}dx,(0

je obyčejná gamma funkce.

\mathbf(ii)Pro \mathbf{A} a \mathbf{s} s vlastnostmi jako výše, definujme:

H^s(A)=\lim_{\delta \to 0}H^s_\delta(A)=\sup_{\delta>0}H^s_\delta(A)

\mathbf{H}^s nazveme s-dimenzionální Hausdorffovou mírou na \mathbb{R}^n.

Elementární vlastnosti Hausdorffovy míry

\mathbf{H}^s je Borelova regulární míra pro 0\leq s, není ale Radonova míra.

Z toho plyne následující:

(i)\mathbf{H}^s_\delta je míra.

(ii)\mathbf{H}^s je míra.

(iii)\mathbf{H}^s je borelovská míra.

Další zajímavé vlastnosti:

(i)\mathbf{H}^0 je čítací míra.

(ii)\mathbf{H}^1=\mathbf{L}^1 na \mathbb{R}^n, kde \mathbf{L}^1 je Lebesgueova míra.

(iii)\mathbf{H}^s=0 na \mathbb{R}^n pro všechna \mathbf{s>n}.

(iv)\mathbf{H}^s(\lambda A)=\lambda^s \mathbf{H}^s(A) pro všechna \lambda>0, A\subset\mathbb{R}^n.

(v)\mathbf{H}^s(L(A))=\mathbf{H}^s(A) pro všechny afinní isometrie L:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n, A\subset\mathbb{R}^n.

Literatura

Steven G. Krantz: Measure Theory and Fine Properties of Functions, * CRC Press LLC, London 2000, .

Kategorie:Míry (teorie míry)