Jednoduše souvislá množina
Author
Albert FloresTopologický prostor se nazývá jednoduše souvislý (nebo 1-souvislý nebo 1-jednoduše souvislý), pokud je obloukově souvislý a každý oblouk mezi dvěma body může být spojitě transformován (intuitivně pro vložené prostory, tak aby zůstaly v daném prostoru) na jiný oblouk, přičemž se zachovávají oba koncové body. Indikátorem, že topologický prostor není jednoduše souvislý, je jeho fundamentální grupa: obloukově souvislý topologický prostor je jednoduše souvislý právě tehdy, když jeho fundamentální grupa je triviální.
Definice a ekvivalentní formulace
Tento tvar reprezentuje množinu, která není jednoduše souvislá, protože jakákoli smyčka, která obklopuje jednu nebo více děr, nemůže být stažena na bod bez opuštění oblasti. +more Topologický prostor X se nazývá jednoduše souvislý, pokud je obloukově souvislý a jakákoli smyčka v X definovaná jako zobrazení f : S1 → X může být stažena na bod: existuje spojité zobrazení F : D2 → X takové, že funkce F restringovaná na množinu S1 je f. S1 označuje jednotkovou kružnici a D2 uzavřený jednotkový kruh v eukleidovské rovině.
Ekvivalentní formulace je tato: X je jednoduše souvislý právě tehdy, když je obloukově souvislý a když p: \langle 0, 1 \rangle \to X a q: \langle 0, 1 \rangle \to X jsou dva oblouky (tj. : spojitá zobrazení) se stejným počátečním a koncovým bodem (p(0) = q(0) a p(1) = q(1)), pak p lze spojitě deformovat na q při zachování obou koncových bodů. +more Explicitně existuje homotopie F : \langle 0,1\rangle \times \langle 0,1\rangle \rightarrow X tak, že F(x,0)=p(x) a F(x,1)=q(x).
Topologický prostor X je jednoduše souvislý právě tehdy, když X je obloukově souvislý a fundamentální grupa X je v každém bodě triviální, tj. sestává pouze z neutrálního prvku. +more Podobně je jednoduše souvislý právě tehdy, když pro všechny body x,y\in X, množina morfismů \operatorname{Hom}_{\Pi(X)}(x,y) ve fundamentálním grupoidu má jediný prvek.
V komplexní analýze: otevřená podmnožina X\subseteq\mathbb{C} je jednoduše souvislá právě tehdy, když X i její doplněk na Riemannově sféře jsou souvislé. Množina komplexních čísel s imaginární částí větší než nula a menší než jedna je pěkným příkladem neomezené, souvislé, otevřené podmnožiny roviny, jejíž doplněk není souvislý, je však jednoduše souvislý. +more Pokud uvolníme požadavek, aby X byla souvislá, vede k zajímavému prozkoumání otevřených podmnožin roviny se souvislým rozšířeným doplňkem. Například (ne nutně souvislá) otevřená množina má souvislý rozšířený doplněk právě tehdy, když každá z jeho souvislých komponent je jednoduše souvislá.
Neformální diskuze
Neformálně řečeno, objekt v našem prostoru je jednoduše souvislý, pokud je tvořen jedním kusem a nemá žádné „díry“, které jím procházejí skrz. Například záchranný kruh ani hrneček (s uchem) není jednoduše souvislý, ale dutý gumový míč jednoduše souvislý je. +more Ve dvourozměrném prostoru není kružnice jednoduše souvislá, ale kruh a přímka jednoduše souvislé jsou. Prostory, které jsou souvislé, ale ne jednoduše souvislé se nazývají nejednoduše souvislé nebo násobně souvislé.
Definice vylučuje pouze díry tvaru ucha. Koule (nebo, ekvivalentně, gumový míč s dutým středem) je jednoduše souvislá, protože jakoukoli smyčku na povrchu koule můžeme stáhnout na bod, přestože v dutém středu má „díru“. +more Silnější podmínka, že objekt nemá žádné díry jakýchkoli rozměrů, se nazývá kontraktibilita.
Příklady
Torus (anuloid) není jednoduše souvislý povrch. +more Žádná z barevně vyznačených smyček na obrázku nemůže být stažena na bod bez opuštění povrchu. Plný torus také není jednoduše souvislý, protože fialovou smyčku nelze stáhnout na bod bez opuštění tělesa. * Eukleidovská rovina R2 je jednoduše souvislá, ale R2 bez počátku souřadnicového systému (0,0) není. Pokud n > 2, pak oba Rn a Rn minus počátek souřadnicového systému jsou jednoduše souvislý. * Obdobně: n-rozměrná sféra Sn je jednoduše souvislá právě tehdy, když n ≥ 2. * Každá konvexní množina Rn je jednoduše souvislá. * Torus, (eliptický) válec, Möbiova páska, projektivní rovina a Kleinova láhev nejsou jednoduše souvislé. * Každý topologický vektorový prostor je jednoduše souvislý; to platí také pro Banachovy prostory a Hilbertovy prostory. * Pro n ≥ 2 ortogonální grupa SO(n,R) není jednoduše souvislá a speciální unitární grupa SU(n) je jednoduše souvislá. * Jednobodová kompaktifikace R není jednoduše souvislá (přestože R je jednoduše souvislá).
Vlastnosti
Povrch (dvourozměrné topologické variety) je jednoduše souvislý právě tehdy, když je souvislý a jeho rod plochy (počet uch nebo držadel) je 0.
Univerzální pokrytí libovolného (vhodného) prostoru X je jednoduše souvislá varieta která se zobrazuje na X přes pokrývající zobrazení.
Pokud prostory X a Y jsou homotopicky ekvivalentní a X je jednoduše souvislý, pak je jednoduše souvislý i Y.
Obraz jednoduše souvislé množiny spojitou funkcí nemusí být jednoduše souvislý. Vezmeme například komplexní rovinu zobrazenou exponenciální funkcí: jejím obrazem je komplexní rovina bez počátku (C - {0}), která není jednoduše souvislá.
Je několik důvodů, proč je pojem jednoduché souvislosti důležitý v komplexní analýze: * Cauchyova-Goursatova věta říká, že, pokud U je jednoduše souvislá otevřená podmnožina komplexní roviny C a f : U → C je holomorfní funkce, pak f má na U primitivní funkci F a hodnota každého křivkového integrálu v U, jehož integrand f závisí pouze na koncových bodech u a v cesty a je možné ji vypočítat jako F(v) - F(u). Integrál tedy nezávisí na konkrétní trajektorii propojující body u a v. +more * Věta o Riemannově zobrazení tvrdí, že jakákoli neprázdná otevřená jednoduše souvislá podmnožina C (kromě množiny C samotné) je konformně ekvivalentní s jednotkovým kruhem.
Pojem jednoduché souvislosti je také klíčovou podmínkou v Poincarého větě.
Odkazy
Reference
Související články
Fundamentální grupa * Unikoherentní prostor * Souvislá množina
Kategorie:Algebraická topologie Kategorie:Vlastnosti topologických prostorů