Homotopie

Homotopie je pojem z matematiky, přesněji z algebraické topologie.

Motivace

Homotopie umožňuje postihnout některé topologické vlastnosti topologických prostorů a zachycuje v rámci matematiky představu spojité deformace prostorů a zobrazení.

Definice

Nechť X, Y jsou topologické prostory a f:X \to Y, g: X \to Y spojitá zobrazení mezi nimi. Homotopie mezi f a g je spojité zobrazení H:[0,1]\times X\to Y takové, že a H(0,x)=f(x) a H(1,x)=g(x) pro každé x \in X, kde uvažujeme [0,1] s topologií danou inkluzí [0,1]\subseteq \mathbb{R} do \mathbb{R} s metrickou topologií a na [0,1]\times X uvažujeme součinovou topologii.

Pokud existuje homotopie mezi f a g, řekneme, že f a g jsou homotopická a píšeme f \simeq g.

Topologické prostory X, Y nazveme homotopické, pokud existují spojitá zobrazení f: X\to Y a g:Y\to X, že f\circ g je homotopické id_Y a g \circ f je homotopické id_X.

Topologicky prostor X nazveme kontraktibilní (stažitelný), pokud je homotopický jednoprvkovému topologickému prostoru (bodu).

Příklady

1. Snadno se ověří, že každé dvě uzavřené křivky a, b: [0,1] \to \mathbb{R}^2 v \mathbb{R}^2 jsou homotopické. +more Homotopií je např. H: [0,1] \times [0,1] \to \mathbb{R}^2 dané formuli H(s,t):=(1-t)f(s) + t g(s), t, s \in [0,1].

2. Těžší je ověřit, že kružnice a(s):=(\cos s, \sin s) a kružnice b(s):=(2 + \cos s, \sin s), s \in [0,2\pi] v prostoru \mathbb{R}^2 -\{(0,0)\} nejsou homotopické. +more Neformálně lze říci, že první kružnici nelze zdeformovat na druhou, aniž bychom s první přešli počátek, jenž do uvažovaného topologického prostou nepatří.

3. Topologický prostor \mathbb{R}^n, n \in \mathbb{N}_0 je kontraktibilní.

4. Ani malá, ani velká kružnice na toru nejsou kontraktibilní.

Tvrzení

Relace být homotopická resp. být homotopické jsou relacemi ekvivalence na množině všech spojitých zobrazení mezi dvěma topologickými prostory, resp. +more na množině všech topologických prostorů.

Poznámka

Pojem homotopické grupy vznikl z potřeb analýzy funkcí komplexní proměnné, zejména teorie integrálů na Riemannových plochách a díky snaze klasifikovat jisté třídy topologických prostorů, především tzv. hladkých variet. +more Pojem homotopie má rozsáhlá zobecnění v (homologické) algebře, teorii deformací, matematické fyzice a částech strunové teorie, obzvláště v teorii tzv. homologické zrcadlité symetrie.

Hladké verze homotopie v kategorii hladkých variet se někdy nazývají izotopie.

Literatura

Související články

Homologie (matematika)

Externí odkazy

Kategorie:Algebraická topologie