Cesko.wiki Afinní obal
Author
Albert FloresPodobně jako je lineární obal definován pro lineární kombinace jisté množiny vektorů, lze ve vektorových prostorech definovat i obaly vektorů ve vztahu k afinním kombinacím.
Definice
Mějme \scriptstyle V vektorový prostor a \scriptstyle \vec{x}_1, \ldots, \vec{x}_n sadu vektorů z \scriptstyle V. Množinu všech afinních kombinací této sady vektorů nazýváme afinní obal vektorů \scriptstyle \vec{x}_1, \ldots, \vec{x}_n (angl. +more affine span či affine hull). Někdy se afinní obal zmíněných vektorů značí jako \scriptstyle [ \vec{x}_1, \ldots, \vec{x}_n ]_\alpha či \scriptstyle \mathrm{aff} (\vec{x}_1, \ldots, \vec{x}_n). V matematické symbolice tedy : \mathrm{aff} (\vec{x}_1, \ldots, \vec{x}_n) \equiv \left\{ \sum_{i=1}^n \alpha_i \vec{x}_i \Bigg| (\forall i \in \hat{n})(\alpha_i \in T) \wedge \sum_{i=1}^n \alpha_i = 1 \right\}, kde \scriptstyle \hat{n} \equiv \{ 1, \ldots, n\}.
Vlastnosti
Některá tvrzení platná pro lineární obaly a podprostory vektorového prostoru jsou v platnosti i pro afinní obaly, zaměníme-li vektorový podprostor lineární varietou. V následujícím se budeme pohybovat ve vektorovém prostoru \scriptstyle V nad tělesem \scriptstyle T.
Afinní obal jako lineární varieta
Afinní obal je lineární varieta v daném vektorovém prostoru.
:Důkaz: Doplnit...
* Afinní obal vektorů \scriptstyle \vec{x}_1, \ldots, \vec{x}_n je nejmenší (ve smyslu inkluze) lineární varieta ve vektorového prostoru \scriptstyle V , která obsahuje \scriptstyle \vec{x}_1, \ldots, \vec{x}_n . Neboli, afinní obal vektorů \scriptstyle \vec{x}_1, \ldots, \vec{x}_n je roven průniku všech lineárních variet \scriptstyle W vektorového prostoru \scriptstyle V, které obsahují tyto vektory. +more Matematicky zapsáno : \text{aff} (\vec{x}_1, \vec{x}_2, \ldots, \vec{x}_n) = \bigcap_{W \ \text{je lin. varieta ve} \ V, \ \{ \vec{x}_1, \ldots, \vec{x}_n \} \subset W} W.
:Důkaz: Doplnit...
Ostatní
Afinní kombinace vektorů obsahuje všechny tyto vektory, neboli : (\forall n \in \mathbb{N})(\forall i \in \hat{n})(\vec{x}_i \in \text{aff} (\vec{x}_1, \ldots, \vec{x}_n))
:Důkaz: Zřejmý, pro dané \scriptstyle \vec{x}_{i_0} položíme v sumě \scriptstyle \sum_{i=1}^n \alpha_i \vec{x}_i koeficient \scriptstyle \alpha_{i_0} = 1 a všechny ostatní nulové.
Geometrická interpretace
Podobně jako lineární obaly, i afinní obaly mají názornou geometrickou interpretaci. Přinejmenším uvažujeme-li vektorové prostory aritmetických vektorů, tj. +more uspořádaných n-tic reálných (potažmo komplexních) čísel. Pro jednoduchost vezměme trojrozměrný prostor \scriptstyle \mathbb{R}^3 nad reálným tělesem. Jeho prvky jsou tedy uspořádané trojice reálných čísel s operacemi definovanými následujícím způsobem.
: \alpha \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} \quad + \quad \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \end{pmatrix} \quad = \quad \begin{pmatrix} \alpha x_1 + y_1 \\ \alpha x_2 + y_2 \\ \alpha x_3 + y_3 \end{pmatrix}.
Prvky tohoto prostoru si tedy lze představovat ve "fyzikálním smyslu", tj. jako šipky vedoucí z počátku soustavy souřadnic. +more Sčítání vektorů ve smyslu vyznačeném výše odpovídá skládání šipek. Budeme-li brát po řadě jedno-, dvou- a tříprvkové množiny vektorů, jejich afinní obaly lze interpretovat takto: * Afinní obal jediného vektoru je pouze tento vektor sám. Pro porovnání, lineární obal jednoho vektoru je roven vektoru samotnému jenom v jediném případě a to když je tento vektor nulový. * Máme-li dva (navzájem různé) vektory \scriptstyle \vec{x}_1 a \scriptstyle \vec{x}_2 z \scriptstyle \mathbb{R}^3, tak jejich obecná afinní kombinace vypadá jako : \alpha \vec{x}_1 + (1 - \alpha) \vec{x}_2, kde \scriptstyle \alpha \in \mathbb{R}. Vektory \scriptstyle \vec{x}_1 a \scriptstyle \vec{x}_2 jsou představovány dvěma body a na jejich afinní kombinaci můžeme nazírat jako na přímku procházející těmito dvěma body. Afinní obal dvou vektorů v \scriptstyle \mathbb{R}^3 je tedy přímka procházející těmito vektory. Rozdíl oproti lineárnímu obalu je v tom, že zatímco lineární obal jednoho nenulového vektoru je přímka procházejí počátkem a tímto vektorem, afinní obal jednoho vektoru je pouze tento vektor sám. Abychom dostali přímku, potřebujeme u afinních obalů vektory dva, oproti lineárnímu obalu ale tato přímka již nemusí procházet počátkem. * Afinní obal tří (lineárně nezávislých) vektorů je rovina procházející těmito třemi vektory alias body. Pro lineární obal tří lineárně nezávislých vektorů bychom dostali celý prostor \scriptstyle \mathbb{R}^3.
Z předchozí diskuze je tedy patrné, že geometrický objekt coby afinní obal daného počtu vektorů má o jednu dimenzi méně, než geometrický objekt vzniklý z těchže vektorů pomocí lineárního obalu.
Související pojmy
Mějme množinu vektorů \scriptstyle \vec{x}_1, \ldots, \vec{x}_n z vektorového prostoru \scriptstyle V. V oddíle Geometrická interpretace jsme viděli, že na afinní obaly vektorů lze nazírat jako na geometrické objekty o dané dimenzi, která je o jedničku nižší než odpovídající geometrický objekt vzniklý z týchž vektorů pomocí lineárního obalu. +more Dimenzi afinního obalu zmíněných vektorů říkáme afinní hodnost souboru \scriptstyle \vec{x}_1, \ldots, \vec{x}_n.
Podobně jako v případě lineárních kombinací, kdy lze definovat lineární nezávislost, můžeme i v případě afinních kombinací definovat afinní (ne)závislost. Řekneme, že soubor \scriptstyle \vec{x}_1, \ldots, \vec{x}_n je afinně nezávislý, právě když je jeho afinní hodnost rovna číslu \scriptstyle n-1. +more Pokud je jeho afinní hodnost ostře menší než \scriptstyle n-1, tak říkáme, že je afinně závislý. Označíme-li afinní hodnost souboru vektorů jako \scriptstyle \text{h}_\alpha (\vec{x}_1, \ldots, \vec{x}_n), pak můžeme psát, že soubor vektorů je afinně nezávislý, právě když : \text{h}_\alpha (\vec{x}_1, \ldots, \vec{x}_n) = n - 1 a afinně závislý, právě když : \text{h}_\alpha (\vec{x}_1, \ldots, \vec{x}_n) Z definice je ihned patrné, že množina obsahující pouze jediný vektor je vždy afinně nezávislá.
Protože se častěji pracuje s lineární nezávislostí, je užitečné najít vztah této a afinní nezávislosti. K tomu se hodí následující tvrzení: Mějme soubor vektorů \scriptstyle \vec{x}_1, \ldots, \vec{x}_n z vektorového prostoru \scriptstyle V pro \scriptstyle n \geq 2. +more Dále nechť \scriptstyle i_0 \in \hat{n} je libovolně, ale pevně, zvolený index. Pak platí : \{ \vec{x}_1, \ldots, \vec{x}_n \} \quad \text{je afinně nezávislý} \quad \Leftrightarrow \quad \{ \vec{x}_1 - \vec{x}_{i_0}, \ldots, \vec{x}_{i_0 - 1} - \vec{x}_{i_0}, \vec{x}_{i_0 + 1} - \vec{x}_{i_0}, \ldots, \vec{x}_n - \vec{x}_{i_0} \} \quad \text{je lineárně nezávislý}.
Literatura
- skripta FJFI ČVUT