Cesko.wiki Matice přechodu
Author
Albert FloresMatice přechodu pro otočení soustavy souřadnic. Matice přechodu mezi dvěma bázemi vektorového prostoru je nástroj pro snadný převod souřadnic vektorů nebo bodů z jedné souřadné soustavy do druhé. Ve spojení s inverzní maticí se používá k vyjádření lineárního zobrazení v jiné soustavě souřadnic. Toto usnadňuje například modelování fyzikálních polí v ortotropních materiálech.
Transformace souřadnic
Budeme uvažovat dvě soustavy souřadnic pro vektory ve vektorovém prostoru. Jsou-li X a X' souřadnice téhož vektoru ve dvou různých souřadných soustavách \mathcal{B} a \mathcal{B}', je možné pomocí matice přechodu P pro přechod od báze \mathcal{B} k \mathcal{B}' psát X=PX'. +more Matice P má tedy ve sloupcích souřadnice vektorů báze \mathcal{B}' vyjádřené v bázi \mathcal{B}.
Příklad
Matice přechodu je ilustrována na obrázku. Soustava \mathcal{B} má osy vodorovně a svisle, odpovídá šedé mřížce. +more Soustava \mathcal{B}' je pootočená proti směru hodinových ručiček a znázorněna modrou mřížkou. Počátek je pro obě soustavy ve středu obrázku a proto můžeme místo vektorů pracovat i s body. Jednotkové vektory soustavy \mathcal{B}' jsou znázorněny červenou a zelenou barvou. Matice přechodu je matice, jejíž sloupce jsou souřadnice těchto vektorů v šedé soustavě \mathcal{B} a je v obrázku vlevo nahoře. Vektor \vec u je součtem trojnásobku prvního a dvojnásobku druhého bázového vektoru soustavy \mathcal{B}'. To definuje souřadnice vektoru v soustavě \mathcal{B}'. Souřadnice v soustavě \mathcal{B} je možné najít po dosazení souřadnic vektorů \vec i a \vec j v bázi \mathcal{B} do vztahu \vec u = 3\vec i+2\vec j. Protože souřadnice vektorů \vec i a \vec j tvoří sloupce matice přechodu, odpovídá tento zápis maticovému součinu zapsanému v levém dolním rohu obrázku.
Transformace lineárního zobrazení
Má-li zobrazení v bázi \mathcal{B} matici A, platí pro vzor X a obraz Y vztah Y=AX. V bázi \mathcal{B}' poté platí Y'=(P^{-1}AP)X' a matice P^{-1}AP je maticí téhož zobrazení v soustavě \mathcal{B}'. +more V technicky významných případech je transformace realizována pootočením a v takovém případě je matice přechodu ortogonální a její inverzní matice P^{-1} je rovna matici transponované P^T.
Využití matice přechodu ve fyzice a v technické praxi
Transformace je výhodná zejména pokud bázi nové soustavy souřadnic tvoří vlastní vektory zobrazení. V takové bázi je matice zobrazení diagonální a mimodiagonální prvky se neuplatní. +more Srovnej obecnou difuzní rovnici, ve které vystupuje i smíšená druhá derivace a matematickou formulaci rovnice vedení tepla, kde se již předpokládá vhodná volba soustavy souřadnic, všechny druhé derivace jsou podle jedné proměnné a smíšené derivace se nevyskytují.
V technické praxi v konstitutivních zákonech pro ortotropní materiály bývá obvyklé tabelovat hodnoty pro vlastní směry materiálu a pro případné výpočty v jiných souřadných soustavách se příslušné veličiny přepočítají pomocí matice přechodu. Kromě přímého přístupu pomocí matice transformace je možné využít i další inženýrské techniky produkující jinými prostředky stejné výsledky, například použití směrových kosinů (každá komponenta matice přechodu vyjadřuje kosinus úhlu mezi jednou osou staré a jednou osou nové soustavy souřadnic) nebo Mohrovy kružnice. +more Například pro dřevo stačí určit tři součinitele vedení tepla v axiálním, radiálním a tangenciálním směru. Pokud materiál modelujeme v souřadné soustavě mající osy v těchto směrech, je matice součinitele tepelné vodivosti diagonální. Pokud je nutné studovat materiál v jiné souřadné soustavě, například kvůli geometrickým vlastnostem, přepočet do jiné soustavy realizuje právě matice přechodu.