Základní věta algebry

Základní věta algebry (též označovaná jako Fundamentální věta algebry) je důležité matematické tvrzení, které má fundamentální význam v algebře, ale podstatnou roli hraje i v dalších odvětvích matematiky. Říká, že každý nekonstantní polynom s komplexními koeficienty má alespoň jeden komplexní kořen. Nejstarší publikovaný důkaz pochází od Jeana-Roberta Arganda z roku 1806.

Přesné znění

Nechť P(x)=a_n\cdot x^n + \ldots + a_0 je polynom s koeficienty a_0,\ldots,a_n\in\mathbb{C},\; a_n\neq 0 stupně \,n\geq 1. Pak existuje číslo \,c\in\mathbb{C}, že \,P(c)=0. +more Animace ilustrující důkaz základní věty algebry na polynomu x^5-x-1.

Důkazy

Ač název věty odkazuje na algebru, jedná se o historický název, kdy se pod algebrou rozumělo především řešení algebraických rovnic. I vzhledem k tomu, že obsahem tvrzení jsou komplexní čísla, která jsou spíše analytickým objektem, všechny důkazy v menší či větší míře využívají metody analytické matematiky.

Komplexně analytický důkaz

Základní věta algebry je snadným důsledkem Liouvillovy věty z komplexní analýzy: : Je-li f holomorfní omezená funkce na \mathbb{C}, pak f je konstantní.

Dále se dokazuje sporem. Nechť nějaký polynom P(x) s komplexními koeficienty aspoň prvního stupně nemá komplexní kořen. +more Pak funkce g(x) daná předpisem g(x)=\frac{1}{P(x)} je definována na celém \mathbb{C}. Dále jistě v komplexní rovině existuje kruh K se středem v nule takový, že |P(x)|\geq 1 pro x ležící mimo K. Protože |P(x)| je spojitá funkce nenulová na K a K je kompaktní, existuje \,\varepsilon>0, že \,|P(x)|>\varepsilon pro x z K. Potom |g(x)| pro každé x\in\mathbb{C}. Tedy g(x) je omezená na \mathbb{C} a holomorfní je zřejmě. Podle Liouvillovy věty tedy je g(x) konstantní a tedy i P(x) je konstantní, což je spor.

Důsledky

Těleso komplexních čísel je algebraicky uzavřené. * Polynom s komplexními koeficienty stupně n\geq 1 má v komplexní rovině právě n kořenů (počítá-li se každý kořen tolikrát, kolik je jeho násobnost). +more * Každý polynom s reálnými koeficienty lze zapsat jako součin konstanty a monických ireducibilních polynomů (v \mathbb{R}) stupňů jedna a dva. * Každou racionální funkci lze rozložit na součet parciálních zlomků.

Související články

Algebra * Polynom * Rovnice * Základní věta integrálního počtu

Reference

A.-L. Cauchy, Cours d'Analyse de l'École Royale Polytechnique, 1ère partie: Analyse Algébrique, 1992, Éditions Jacques Gabay,

* B. Fine and G. Rosenberger, The Fundamental Theorem of Algebra, 1997, Springer-Verlag,

* C. F. +more Gauss, “[url=https://web. archive. org/web/20061110112552/http://www. fsc. edu/library/documents/Theorem. pdf]New Proof of the Theorem That Every Algebraic Rational Integral Function In One Variable can be Resolved into Real Factors of the First or the Second Degree[/url]”, 1799.

* C. Gilain, “Sur l'histoire du théorème fondamental de l'algèbre: théorie des équations et calcul intégral”, Archive for History of Exact Sciences, 42 (1991), 91-13

* H. Kneser, “[url=http://www-gdz. +moresub. uni-goettingen. de/cgi-bin/digbib. cgi. PPN266833020_0046]Der Fundamentalsatz der Algebra und der Intuitionismus[/url]”, Mathematische Zeitschrift, 46 (1940), 287-302, podívejte se také na: M. Kneser: “[url=http://www-gdz. sub. uni-goettingen. de/cgi-bin/digbib. cgi. PPN266833020_0177]Ergänzung zu einer Arbeit von Hellmuth Kneser über den Fundamentalsatz der Algebra[/url]”, Mathematische Zeitschrift, 177 (1981) 285-287.

* E. Netto and R. +more Le Vavasseur, “Les fonctions rationnelles §80-88: Le théorème fondamental”, in Encyclopédie des Sciences Mathématiques Pures et Appliquées, tome I, vol. 2, 1992, Éditions Jacques Gabay,.

* R. Remmert, “The Fundamental Theorem of Algebra”, v Numbers, 1991, Springer-Verlag,

* D. E. Smith, “A Source Book in Mathematics”, 1959, Dover Publications,

* M. Spivak, Calculus, 1994, Publish or Perish,

* B. L. van der Waerden, Algebra I, 1991, Springer-Verlag,

Externí odkazy

[url=http://www.cut-the-knot.org/do_you_know/fundamental2.shtml]Soubor důkazů základní věty algebry[/url] *

Kategorie:Algebra * Kategorie:Matematické věty a důkazy Kategorie:Polynomy