Absolutní hodnota

Absolutní hodnota je matematický pojem, který souvisí s pojmy velikosti a vzdálenosti. Vyjadřuje vzdálenost obrazu čísla na číselné ose od nuly a značí se dvěma svislými čarami: |x|. Absolutní hodnota čísla je vždy číslo nezáporné, tedy větší nebo rovno nule. Absolutní hodnota z kladného čísla je stejné číslo (|x| = x; např. |3| = 3). Absolutní hodnota ze záporného čísla je číslo opačné (|-x| = x; např. |-3| = 3). Absolutní hodnota z nuly je nula.

Zápis |x| s x mezi svislicemi představil Karl Weierstrass v roce 1841. Stejný zápis se užívá taktéž k označení mohutnosti.

Definice a vlastnosti

Reálná čísla

Absolutní hodnota reálného čísla a je definována následovně:

:|a| = \begin{cases} a, & \mbox{pokud } a \ge 0 \\ -a, & \mbox{pokud } a

Jak je patrné z výše uvedené definice, absolutní hodnota čísla a je vždy nezáporné číslo.

Pro každé reálné číslo platí:

# |a| = \sqrt{a^2} # |a| \ge 0 # |a| = 0 \Leftrightarrow a = 0 # |ab| = |a|.|b| # |a+b| \le |a| + |b| (trojúhelníková nerovnost) # |(|a|)|=|a| # |-a|=|a| # |a-b|=0\Leftrightarrow a=b # |a-b|\leq |a-c|+|c-b| # \bigg|\frac{a}{b}\bigg| = \frac

a

[wiki_table=ff7c5785] (pro b ≠ 0) # \ |a-b| \ge \Big|(|a| -|b|)\Big|

Absolutní hodnota v nerovnosti:

\ |a| \le b \Leftrightarrow -b \le a \le b

\ |a| \ge b \Leftrightarrow a \le -b \lor b \le a

Tyto vztahy se často používají pro řešení nerovnic s absolutní hodnotou.

Například: |x-3|\leq9\Leftrightarrow -9\leq x-3\leq9

\Leftrightarrow-6\leq x\leq12

Absolutní hodnota funkce |f|: y = |f(x)|, x\in D(f)\subset R je funkce označovaná |f|, jejíž funkční hodnoty jsou rovny |f(x)| a která má definiční obor D (|f|) = D (f).

Podle definice absolutní hodnoty reálného čísla je:

|f|: y = |f(x)| = \{ \begin{align}&f(x), &\text{pro} \; f (x)\geq 0, \\ &-f(x), &\text{pro} \; f (x)

Funkce s absolutní hodnotou může představovat jakoukoli funkci (lineární, kvadratickou, logaritmickou, goniometrickou atd. ). +more Pokud obsahuje absolutní hodnotu, spadá do množiny funkcí s absolutní hodnotou.

Pro reálná čísla je definována funkce: \ f(x) = |x|. Graf funkce absolutní hodnoty reálného čísla Vlastnosti:

* D(f) = R; * H(f) = \langle 0,\infty\bigr); * klesající v intervalu \bigl(-\infty, 0 \rangle ; * rostoucí v intervalu \langle 0,\infty ) ; * je zdola omezená, shora omezená není; * v bodě 0 má minimum, nemá maximum; * spojitá ve všech bodech a diferencovatelná ve všech bodech kromě x = 0.

Komplexní čísla

Absolutní hodnota komplexního čísla |z| je rovna vzdálenosti bodu, který je obrazem tohoto čísla v Gaussově rovině, od počátku soustavy souřadnic. Všechna komplexní čísla z, která mají stejnou absolutní hodnotu, vyplní v Gaussově rovině kružnici se středem v počátku a s poloměrem rovným číslu |z| . +more Absolutní hodnoty komplexních čísel |z_1|,|z_2|,|z_1 + z_2|,|z_1 - z_2| jsou v Gaussově rovině rovny vzdálenostem obrazů komplexních čísel z_1,z_2,z_1 + z_2,z_1 - z_2 od počátku soustavy souřadnic.

Absolutní hodnota komplexního čísla \ z = a + bi, kde a a b jsou reálná čísla, je definována vztahem: |z| = \sqrt{z.\bar{z}} =\sqrt{a^2+b^2}, kde \bar{z} = a - bi.

Vlastnosti:

* Imaginární část b komplexního čísla je rovna nule, pak je absolutní hodnota komplexního rovna absolutní hodnotě reálného čísla a. * Pokud je komplexní číslo v exponenciálním (polárním) tvaru jako z = r e^{i \theta} kde r ≥ 0 a θ náleží reálným číslům absolutní hodnota je |z|=r. +more * |z| = \sqrt{z \cdot \overline{z}}, kde z s pruhem je číslo komplexně sdružené k z. * Absolutní hodnota komplexního čísla má vlastnosti reálné absolutní hodnoty uvedené výše v rovnicích (2) až (11). * Pro komplexní čísla je absolutní hodnota spojitá ve všech bodech, ale není diferencovatelná v žádném bodě.

Kvaterniony

viz také kvaternion

Definice normy kvaternionu: |h| = \sqrt{h h^*}, kde h^* = a-bi-cj-dk.

Norma kvaterninonu, zapsaná v algebraickém tvaru h = a + bi + cj + dk je dána definicí: |h| = \sqrt{a^2+b^2+c^2+d^2}, kde kde a, b, c a d jsou reálná čísla.

Vektory

viz také vektor

Absolutní hodnota (norma) nebo délka vektoru v trojrozměrném euklidovském prostoru \mbox{x}=(x_1,x_2,x_3) \in \mathbb{R}^3 je definována výrazem \left | \mbox{x} \right | = \sqrt{x_1^2 + x_2^2 + x_3^2}.

Pomocí souřadnic vektoru \mbox{x} \in \mathbb{C}^n v ortonormální bázi je jeho norma dána výrazem: \left | \mbox{x} \right | = \sqrt{|x_1|^2 + |x_2|^2 + ... + |x_n|^2}.

Definice vyjádřena skalárním součinem: \left | \mbox{x} \right | = \sqrt{\mbox{x} \cdot \mbox{x}}.

Pro normu vektoru se používá označení ||x||, ke zdůraznění, že argumentem normy není číslo, ale vektor.

Abstraktně se norma na komplexním vektorovém prostoru V zavádí jako reálná funkce těmito požadavky:

* |x| \ge 0 (nezápornost), * |x| = 0 \leftrightarrow x=0 (definitnost), * | \lambda x | = | \lambda | . | x | (homogenita), * |x+y| \le |x| + |y| (trojúhelníková nerovnost),

pro všechny x,y \in V, \lambda \in \mathbb{C}.

Prostory

Základní vlastnosti absolutní hodnoty pro reálná čísla (viz 2. až 5. - reálná čísla) lze použít k zobecnění absolutní hodnoty v libovolném prostoru.

Absolutní hodnota reálná funkce v v poli F platí, pokud splňuje tyto čtyři axiomy:

* v(a) \ge 0 * v(a) = 0 \iff a = \mathbf{0} * v(ab) = v(a) v(b) * v(a+b) \le v(a) + v(b)

Absolutní hodnotu reálných a komplexních čísel je možno uvést jako příklady absolutních hodnot pro libovolné pole.

Jestliže v je absolutní hodnota F, pak funkce d na F × F, kde d(a, b) = v(a − b), je metrikou a platí následující: * d splňuje nerovnost d(x, y) \leq \max(d(x,z),d(y,z)) pro všechna x, y, z, jež náleží F * \big\{ v\Big({\textstyle \sum_{k=1}^n } \mathbf{1}\Big) : n \in \mathbb{N} \big\} je omezená v R

* v\Big({\textstyle \sum_{k=1}^n } \mathbf{1}\Big) \le 1\ pro každé n \in \mathbb{N}. * v(a) \le 1 \Rightarrow v(1+a) \le 1\ pro všechna a \in F. +more * v(a + b) \le \mathrm{max}\{v(a), v(b)\}\ pro všechna a, b \in F.

Vztah absolutní hodnoty k funkci signum

Pomocí znaménkové funkce signum lze vyjádřit absolutní hodnotu jako

|x| = x \cdot \sgn x.

Platí také

x= |x| \cdot \sgn x.

Derivace

Funkce absolutní hodnoty má konstantní derivaci pro x≠0, v bodě x=0 neexistuje:

\frac{d|x|}{dx} = \begin{cases} -1 & x0. \end{cases}

Platí tedy

\frac{d|x|}{dx} = \frac

x

{x} = \sgn x.

Druhá derivace |x| je nula mimo hodnoty pro x=0, kde neexistuje.

Neurčitý integrál

Neurčitý integrál (primitivní funkce) funkce absolutní hodnoty je:

\int|x|dx=\frac{x|x|}{2}=\frac{x^2}{2} \sgn x.

Vzdálenost

Absolutní hodnota úzce souvisí s myšlenkou vzdálenosti. Jak bylo uvedeno výše, absolutní hodnota reálného nebo komplexního čísla je vzdálenost čísla od počátku (na reálné ose pro reálná čísla, v komplexní rovině pro komplexní čísla). +more Obecně je absolutní hodnota rozdílu dvou skutečných nebo komplexních čísel vzdálenost mezi nimi.

Standardní eukleidovská metrika mezi dvěma body

a = (a_1, a_2, \dots , a_n)

a

b = (b_1, b_2, \dots , b_n)

je v eukleidovském prostoru definována jako

\sqrt{\sum_{i=1}^n(a_i-b_i)^2}.

Absolutní hodnotu rozdílu |a − b|, kde a i b jsou reálná čísla, lze vyjádřit jako

|a - b| = \sqrt{(a - b)^2}.

Zatímco absolutní hodnotu rozdílu |a − b|, kde a i b jsou komplexní čísla

a = a_1 + i a_2 a b = b_1 + i b_2 , pak

|a - b| = |(a_1 + i a_2) - (b_1 + i b_2)|

= |(a_1 - b_1) + i(a_2 - b_2)|

= \sqrt{(a_1 - b_1)^2 + (a_2 - b_2)^2}.

Zobecnění

Reálné zobrazení d: \mathcal{M} \times \mathcal{M} \rightarrow \mathbb{R} se nazývá metrika, jestliže splňuje tyto čtyři axiomy (pro libovolná a, b, c \in \mathcal{M}):

d(a, b) \ge 0

d(a, b) = 0 \iff a = b

d(a, b) = d(b, a)

d(a, b) \le d(a, c) + d(c, b)

Reference

Externí odkazy

Kategorie:Numerická matematika Kategorie:Unární operátory