Bertrandův postulát

Bertrandův postulát je věta v teorii čísel, která říká, že pro každé celé číslo n > 3 existuje alespoň jedno prvočíslo p, pro které platí:

: n

Slabší formulace říká, že pro každé n > 1 existuje alespoň jedno prvočíslo p takové, že

: n

Další možná formulace říká, že pro n \ge 1 platí

: p_{n+1}

kde p_n je n-té prvočíslo.

Toto tvrzení jako první vyslovil v roce 1845 Joseph Bertrand (1822-1900). Bertrand sám ověřil platnost tohoto tvrzení pro všechna čísla v intervalu [2, 3 × 106]. +more Jeho tvrzení zcela dokázal Čebyšev (1821-1894) v roce 1852, a proto se postulát také někdy nazývá Bertrandův-Čebyševův teorém nebo Čebyševův teorém. Čebyševův teorém může být také vyjádřen pomocí \pi(x), kde \pi(x) je prvočíselná funkce (počet prvočísel menších nebo rovných x \,), jako:.

: \pi(x) - \pi(\tfrac{x}{2}) \ge 1, \forall x \ge 2 .

Prvočíselná věta

Prvočíselná věta (PNT) říká, že pokud počet prvočísel menších nebo rovných x je přibližně \frac{x}{ln x}, potom dosadíme-li za x hodnotu 2x, pak počet prvočísel menších nebo rovných 2x je asymptoticky stejný s dvojnásobkem počtu prvočísel menších nebo rovných x (výrazy ln (2x) a ln (x) jsou asymptoticky ekvivalentní). Proto pro velká n je počet prvočísel mezi n a 2n roven přibližně \frac{n}{ln (n)}, a tedy se v tomto intervalu nachází mnohem více prvočísel, než zaručuje Bertrandův Postulát. +more Bertrandův postulát je tedy v porovnání s PNT slabší. Ale PNT je hluboká věta, zatímco Bertrandův postulát se lépe pamatuje a snadněji se dokazuje, a také přesně popisuje chování pro malé hodnoty n. (Navíc Chebyshevův teorém byl dokázán před PNT, takže má historický důvod. ).

Podobná a dosud nevyřešená Legendreova domněnka se ptá, jestli pro každé n > 1 existuje prvočíslo p takové, že platí n^2 . Opět předpokládáme, že mezi n^2 a (n+1)^2 se bude nacházet mnoho prvočísel, nicméně v tomto případě PNT nepomůže: počet prvočísel menších nebo rovných x^2 je asymptoticky stejný s \frac{x^2}{ln(x^2)}, zatímco počet prvočísel menších nebo rovných (x+1)^2 je asymptoticky stejný s \frac{(x+1)^2}{ln((x+1)^2)}, což je asymptoticky shodné s odhadem na prvočíslech menších nebo rovných x^2. +more Takže na rozdíl od předchozího případu pro x a 2x důkaz Legendreovy domněnky nedostaneme ani pro všechna velká n. Odhady odchylek na PNT nejsou (a ani nemohou být) dostatečné k prokázání existence alespoň jednoho prvočísla na tomto intervalu.

Zobecnění

V roce 1919 použil Ramanujan (1887-1920) k získání jednoduššího důkazu vlastnosti funkce gama. Krátký příspěvek obsahoval zobecnění postulátu, ze kterého později vzniknul koncept ramanujanských prvočísel. +more Došlo také k dalším zobecněním ramanujanských prvočísel, například existuje důkaz, že.

: 2p_{i-n} > p_i \text{ pro } i>k \text{ kde } k=\pi(p_k)=\pi(R_n)\,

pokud p_k je k-té prvočíslo a R_n je n-té Ramanujanovo prvočíslo.

Ostatní zobecnění Bertrandova postulátu byla získána pomocí elementárních metod. (V následujícím textu n náleží do množiny kladných celých čísel. +more) V roce 2006 M. El Bachraoui dokázal, že mezi 2n a 3n existuje prvočíslo. V roce 1973, Denis Hanson dokázal, že existuje prvočíslo mezi 3n a 4n . Kromě toho v roce 2011 Andy Loo dokázal, že protože n jde do nekonečna, počet prvočísel mezi 3n a 4n se také blíží nekonečnu, čímž se zobecňují Erdősovy a Ramanujanovy výsledky (viz oddíl Erdősův teorém níže). První výsledek se získá elementárními metodami. Druhý je založen na analytických mezích pro funkci faktoriál.

Sylvesterova věta

Bertrandův postulát byl navržen pro aplikace do permutačních grup. Sylvester (1814-1897) zobecnil slabší výrok pomocí výroku: součin k po sobě jdoucích celých čísel větších než k je dělitelný prvočíslem větším než k. +more Z toho vyplývá Bertrandův (slabší) postulát, vezmeme-li k = n a dosadíme za k čísla (n+1), (n+2) až n + k = 2n včetně, kde n>1. Podle Sylvestrova zobecnění má jedno z těchto čísel prvočíselného dělitele většího než k. Protože všechna tato čísla jsou menší než 2(k+1), číslo s prvočíselným dělitelem větším než k má pouze jednoho prvočíselného dělitele, a je tedy prvočíslem. Všimněme si, že 2n není prvočíslo, a proto nyní víme, že existuje prvočíslo k, pro které platí k.

Erdősovy věty

V roce 1932 publikoval také Erdős (1913-1996) jednodušší důkaz využívající kombinační čísla a Čebyševovu funkci ϑ, definovanou jako:

: \vartheta(x) = \sum_{p=2}^x \ln (p) ,

kde p jsou prvočísla menší nebo rovna x. Podrobnosti viz důkaz Bertrandova postulátu.

Erdős v roce 1934 dokázal, že pro každé kladné celé číslo k existuje přirozené číslo N takové, že pro všechna n > N, se mezi n a 2n nachází alespoň k prvočísel. Ekvivalentní tvrzení bylo prokázáno v roce 1919 Ramanujanem.

Zpřesnění

Z prvočíselné věty vyplývá, že pro jakékoli reálné \varepsilon > 0 existuje n_0 > 0 takové, že pro všechna n > n_0 existuje prvočíslo p takové, že n . Lze například ukázat, že

: \lim_{n \to \infty}\frac{\pi((1+\varepsilon)n)-\pi(n)}{n/\log n}=\varepsilon,

z čehož vyplývá, že \pi (( 1 + \varepsilon ) n) - \pi (n) jde do nekonečna (a zejména je větší než 1 pro dostatečně velké n). n

Byly také dokázány neasymptotické meze. V roce 1952 Jitsuro Nagura dokázal, že pro n \ge 25 se mezi n a\left (1+\frac{1}{5} \right) n vždy nachází prvočíslo.

V roce 1976 Lowell Schoenfeld ukázal, že pro n \ge 2010760 se na otevřeném intervalun vždy nachází prvočíslo p.

Pierre Dusart ve své disertační práci z roku 1998 vylepšil výše uvedený výsledek, když ukázal, že pro k \ge 463,p_{k+1} \le \left( 1 + \frac{1}{2 \ln^2{p_k}} \right) p_k a zejména pro x \ge 3275existuje prvočíslo p na intervalu x .

V roce 2010 Pierre Dusart dokázal, že pro x \ge 396738 existuje alespoň jedno prvočíslo p na intervalux .

V roce 2016 Pierre Dusart zlepšil svůj výsledek z roku 2010, když ukázal, že pokud x \ge 89693, pak existuje alespoň jedno prvočíslo p na intervalu x . Ukázal také, že pro x \ge 468991632 existuje alespoň jedno prvočíslo p na intervalux .

Baker, Harman a Pintz dokázali, že v intervalu [x-x^{0.525},\,x] se nachází prvočíslo pro všechna dostatečně velká x.

Důsledky

Posloupnost prvočísel spolu s 1 je úplná posloupnost; libovolné kladné celé číslo může být zapsáno jako součet prvočísel (a 1), přičemž každé z nich je použito nanejvýš jednou. * Jediné harmonické číslo, které je zároveň celé, je číslo 1.

Odkazy

Reference

Kategorie:Matematické věty a důkazy Kategorie:Prvočísla