Betzovo pravidlo

Betzovo pravidlo zformuloval Albert Betz při studiu teorie větrem poháněných strojů. Pravidlo odvozuje, jaká maximální množství energie lze získat pomocí rotoru z média, pohybujícího se zadanou rychlostí. Pro odvození maximální účinnosti takového stroje (například větrné turbíny) lze vycházet z představy, že médium se pohybuje ve formě válce s průřezem rovným průřezu disku rotoru a výškou odpovídající rychlosti průtoku média.

Nechť v1 je rychlost média nabíhajícího na rotor a v2 rychlost média za rotorem. Průměrná rychlost média vzhledem k disku rotoru bude vavg, kde

: v_{\rm avg} = \begin{matrix} \frac12 \end{matrix} \cdot (v_1 + v_2)

Jestliže je plocha disku rotoru rovna S, a ρ je hustota média, bude hmotnostní tok média diskem za jednotku času roven:

: \dot m = \rho \cdot S \cdot v_{\rm avg} = \frac{\rho \cdot S \cdot (v_1 + v_2)}{2}

Odvedená práce bude rovna rozdílu kinetických energií média nabíhajícího na rotor a média opouštějícího rotor:

: \dot E = \begin{matrix} \frac12 \end{matrix} \cdot \dot m \cdot (v_1^2 - v_2^2)

:: = \begin{matrix} \frac14 \end{matrix} \cdot \rho \cdot S \cdot (v_1 + v_2) \cdot (v_1^2 - v_2^2)

:: = \begin{matrix} \frac14 \end{matrix} \cdot \rho \cdot S \cdot v_1^3 \cdot (1 - (\frac{v_2}{v_1})^2 + (\frac{v_2}{v_1}) - (\frac{v_2}{v_1})^3) .

Na vodorovnou osu je vynesen poměr rychlostí média před a za rotorem \begin{matrix} \frac{v_2}{v_1} \end{matrix} , svislá osa ukazuje průběh součinitele výkonnosti Cp. +more Derivací \dot E podle \begin{matrix} \frac{v_2}{v_1} \end{matrix} pro dané rychlosti v1 a daný průměr disku rotoru S získáme extrém funkce \dot E . Výsledkem je hodnota maxima \dot E pro \begin{matrix} \frac {v_2}{v_1} = \frac13 \end{matrix} .

Po dosazení této hodnoty je zřejmé, že:

: E_{\rm max} = \begin{matrix} \frac{16}{27} \cdot \frac{1}{2} \end{matrix} \cdot \rho \cdot S \cdot v_1^3 .

Práce, kterou může odevzdat médium s rychlostí v1 rotoru o průřezu S (tedy „válec“) bude rovna:

: E = \begin{matrix} \frac12 \end{matrix} \cdot \rho \cdot S \cdot v_1^3 .

„Součinitel výkonnosti“ Cp (= \begin{matrix} \frac {E_{\rm max}}{E} \end{matrix} ) dosahuje maxima pro: Cp.max = \begin{matrix} \frac{16}{27} \end{matrix} = 0,593, tedy 59,3 %

Rotory reálných zařízení (například větrných turbín) vykazují další ztráty energie, které jejich účinnost dále snižují. Moderní zařízení proto dosahují hodnot Cp v rozsahu od 0,4 do 0,5, tedy 70 až 80 % teoreticky možných.

Reference

Betz, A. (1966) Introduction to the Theory of Flow Machines. (D. G. Randall, Trans.) Oxford: Pergamon Press.

Kategorie:Technická mechanika