Binární sčítačka

Technology

12 hours ago

Author

Albert Flores

Binární sčítačka (nebo jen sčítačka) je kombinační logický obvod, který realizuje sčítání čísel reprezentovaných ve dvojkové soustavě. Je základní součástí aritmeticko-logických jednotek (ALU), ale také v dalších jednotkách, například pro práci s pamětí (MMU aj.), procesorů (CPU, GPU, DSP, ...) počítačů.

V případě použití dvojkového doplňku záporných čísel může být sčítačka velmi snadno rozšířena na sčítačku-odčítačku.

Jednobitové sčítačky

Poloviční sčítačka

AND Poloviční sčítačka nebo polosčítačka (anglicky Half adder) realizuje sčítání dvou jednobitových čísel. +more Vstup jsou dva jednobitové sčítance (A, B). Výstupem je jednobitový součet (S) a jednobitový příznak přenosu do vyššího řádu (C, nebo též anglicky jako Carry flag).

Poloviční sčítačka dále přenáší příznak přenosu do vyššího řádu, sama však nedokáže zpracovat přenos z nižšího řádu. Nestačí proto k realizaci vícebitového sčítání.

Pravdivostní tabulka poloviční sčítačky:

vstup	výstup
A	B	C	S
0	0	0	0
0	1	0	1
1	0	0	1
1	1	1	0

Úplná sčítačka

OR (blokové schéma) +moresvg|náhled|Úplná_sčítačka_z_hradel_(2x_Hradlo_XOR|XOR,_2x_Hradlo_AND|AND,_1x_Hradlo_OR'>OR). Dvě poloviční sčítačky jsou ve schématu označeny červeně a modře. Schematické uspořádání značky jednobitové úplné sčítačky Úplná sčítačka (anglicky Full adder) realizuje sčítání dvou jednobitových čísel s přihlédnutím k přenosu z předchozího řádu. Vstupem jsou tři jednobitové sčítance: A, B, Ci (Ci z anglického Carry-in). Výstupem je jednobitový součet (S) a jednobitový příznak přenosu do vyššího řádu (Co z anglického Carry-out).

Úplnou sčítačku je možné složit ze dvou polovičních sčítaček a hradla OR (viz obrázek). Hradlo OR je navíc možné bez vlivu na funkčnost nahradit pomocí hradla XOR, protože kombinace vstupů (1, 1), v němž by se jejich výstupy lišily, nemůže v případě sčítání nastat (buď nastane přenos pouze v první poloviční sčítačce, nebo pouze v druhé). +more Takže k vytvoření úplné sčítačky stačí mít 2 typy hradel, což může být praktické pro realizaci.

Úplné sčítačky se spolu mohou vedle sebe řetězit (výstup Co jedné sčítačky propojit se vstupem Ci další) a provádět tak sčítání vícebitových čísel (viz níže).

Booleovský zápis: : : Pravdivostní tabulka úplné sčítačky:

vstup	výstup
Ci	B	A	Co	S
0	0	0	0	0
0	0	1	0	1
0	1	0	0	1
0	1	1	1	0
1	0	0	0	1
1	0	1	1	0
1	1	0	1	0
1	1	1	1	1

Vícebitové sčítačky

Čtyřbitová sčítačka s přenosem

4bitová sčítačka s přenosem. +more Období řešení obvodu je 2 * 4 = 8 pod-hradlových zpoždění. N-bitová sčítačka s přenosem jednoduše (odkazuje na Ripple carry adder, zkr. RCA) vzniká pouhým zřetězením n 1bitových sčítaček s přenosem, propojením výstupu Co sčítačky n-tý bit vstupu Ci sčítačky (n+1)-tého bitu (viz obrázek). Vstupem výsledné n-bitové sčítačky jsou pak dvě n-bitová čísla (+ případný přenos z předcházejícího bitu (nižšího řádu)), výstupem je jejich součet, široký n+1 bitů (n bitů + přenos). Název je odvozen z principu - příznak přenosu se propaguje (šíří) z jednoho bitu do druhého.

Sčítačka s podporou přenosu je jednoduchá na návrh a provedení a teoreticky je rozšiřitelná na libovolný počet bitů. Má však zásadní nevýhodu: s rostoucí šířkou (a tedy počtem zřetězených sčítaček s přenosem) přímo úměrně zvyšuje celkové zpoždění (doba ustálení) výsledného obvodu. +more Signál přenosu prochází v každé z sčítaček dvěma hradly, takže např. u 32bitové sčítačky se objeví správné hodnoty na výstupu se zpožděním až 64 pod-hradlových zpoždění, což může výrazně omezit propustnost (maximální možný počet sčítání za jednotku času) sekvenčního zařízení využívajícího tento typ sčítačky. Toto omezení vedlo ke snaze navrhnout n-bitovou sčítačku s menším zpožděním.

Sčítačka s předpovědí přenosu

4bitová sčítačka s predikcí přenosu Sčítačka s predikcí přenosu jednoduše odkazuje na Carry Lookahead Adder, zkr. +more CLA) je n-bitová binární sčítačka schopná vypočítat součet za kratší dobu (v jednotkách hradlového zpoždění) než sčítačka s podporou přenosu (RCA). V RCA musí každá dílčí 1bitová sčítačka "čekat" na správný příznak přenosu bitu ze sčítačky nižšího řádu). Při CLA je (v podstatě) veškerý provoz mezi řády vypočítán ve stejné době - kombinačním obvodem jménem jednotka predikce přenosu (v Lookahead Carry Unit, zkr. LCU).

Výhody: * výpočet součtu se zpožděním teoreticky nezávislým na šířce vstupních - O(1), zatímco sčítačka s podporou přenosu má zpoždění přímo úměrná šířce vstupu - O(n) Nevýhody: * vyšší nároky na celkový počet hradel - O(n^2) a celkový počet tranzistorů O(n^3(vzhledem k potřebě hradel s počtem vstupů úměrných šířce sčítačky ve srovnání se sčítačkou s přenosem (O(n) hradel) * od určitého počtu bitů přestává být prakticky realizovatelná (kvůli počtu hradel a výrobním omezením počtu vstupů na jedno hradlo). Široké sčítačky je proto třeba realizovat na více úrovních - kombinováním sčítaček na principu predikce přenosu (na nižší úrovni) a s podporou přenosu (na vyšší úrovni), nebo případně pomocí principu predikce přenosu na dvou (nebo více) úrovních.