Boltzmannovo rozdělení

Boltzmannovo rozdělení (někdy označované Gibbsovo) je rozdělení pravděpodobnosti nebo pravděpodobnostní míra, používané zejména ve statistické fyzice a matematice. Udává pravděpodobnost, že fyzikální systém bude v jistém stavu, jako funkci energie tohoto stavu a teploty systému. Rozdělení má tvar:

: p_i \propto e^{-\frac{\varepsilon_i}{kT}}

kde je pravděpodobnost, že systém bude ve stavu , je energie tohoto stavu a jmenovatel je součin Boltzmannovy konstanty a termodynamické teploty . Symbol \propto označuje přímou úměrnost; převrácená hodnota konstanty úměrnosti, jež normalizuje pravděpodobnosti tak, aby jejich součet byl roven jedné, se označuje jako partiční funkce.

Pojem systém zde má velmi široký význam; může sahat od jednoho atomu k makroskopickým systémům, jako je zásobník zemního plynu. Z tohoto důvodu lze Boltzmannovo rozdělení použít k řešení velmi široké škály problémů. +more Vzorec ukazuje, že stavy s nižší energií mají vyšší pravděpodobnost, že budou obsazeny.

Poměr pravděpodobností dvou stavů je označován jako Boltzmannův faktor a závisí pouze na rozdílu energie stavů:

: \frac{p_i}{p_j} = e^{\frac{\varepsilon_j - \varepsilon_i}{kT}}

Boltzmannovo rozdělení je pojmenováno podle Ludwiga Boltzmanna, který jej poprvé formuloval v roce 1868 při výzkumu statistické mechaniky plynů v tepelné rovnováze. Rozdělení bylo později podrobně zkoumáno v moderní generické podobě Josiahem Willardem Gibbsem.

Boltzmannovo rozdělení maximalizuje entropii

: H(p_1,p_2,\cdots,p_M) = -\sum_{i=1}^{M} p_i\log_2 p_i

při okrajové podmínce, že {\sum{p_i {\varepsilon}_i}} se rovná konkrétní střední hodnotě energie, odpovídající teplotě systému (což lze prokázat pomocí Lagrangeových multiplikátorů).

Boltzmannovo rozdělení není totéž jako Maxwellovo-Boltzmannovo rozdělení. Boltzmannovo rozdělení udává pravděpodobnost, že systém bude v určitém stavu, jako funkci energie tohoto stavu, zatímco Maxwellovo-Boltzmannovo rozdělení popisuje rychlosti částic v idealizovaných plynech.

Reference

Kategorie:Statistická mechanika