Cesko.wiki Rozdělení pravděpodobnosti
Author
Albert FloresRozdělení pravděpodobnosti nebo rozložení pravděpodobnosti (někdy také distribuce pravděpodobnosti) náhodné veličiny je pravidlo, kterým se každému jevu popisovanému touto veličinou přiřazuje určitá pravděpodobnost. Rozdělení pravděpodobnosti náhodné veličiny vznikne, pokud je každé hodnotě diskrétní náhodné veličiny nebo intervalu hodnot spojité náhodné veličiny přiřazena pravděpodobnost.
Rozdělení pravděpodobnosti lze také chápat jako zobrazení, které každému elementárnímu jevu přiřazuje určité reálné číslo, které charakterizuje pravděpodobnost tohoto jevu.
Rozdělení pravděpodobnosti diskrétní náhodné veličiny
Pravděpodobnost, že diskrétní náhodná veličina X bude mít po provedení náhodného pokusu hodnotu x, značíme P(X=x), P[X=x] nebo stručně P(x).
Výsledkem jednoho náhodného pokusu je to, že náhodná veličina bude mít právě jednu hodnotu. Všechny hodnoty definičního oboru náhodné veličiny tedy představují úplný systém neslučitelných jevů, což znamená, že součet pravděpodobností všech možných hodnot x diskrétní náhodné proměnné X je roven 1, tzn. +more :\sum_x P[X=x]=1.
Pravděpodobnostní funkce
Rozdělení pravděpodobnosti diskrétní náhodné veličiny se tedy vyjádří tak, že se určí pravděpodobnost P(x) pro všechna x definičního oboru veličiny X. Pravděpodobnosti jednotlivých hodnot x jsou tedy vyjádřeny funkcí P(x), která se nazývá pravděpodobnostní funkce.
Demonstrace diskrétního rozdělení pravděpodobnosti Hodnoty pravděpodobností funkce vyjadřujeme obvykle tabulkou, např.
| x | P(x) |
|---|---|
| x_1 | P(x_1) |
| x_2 | P(x_2) |
| … | … |
| x_n | P(x_n) |
Znalost pravděpodobnostní funkce lze použít k výpočtu pravděpodobnosti. Například pravděpodobnost, že náhodná veličina X leží mezi hodnotami x_1 a x_2, se určí jako :P[x_1\leq X\leq x_2] = \sum_{x=x_1}^{x_2} P(x)
Distribuční funkce diskrétní veličiny
Pomocí pravděpodobnostní funkce lze zavést distribuční funkci vztahem :F(x) = P[X \le x]
Distribuční funkce je neklesající a je spojitá zprava. Hodnoty distribuční funkce leží v rozsahu 0\leq F(x)\leq 1. +more Pro diskrétní náhodnou veličinu X lze pro libovolné reálné číslo x vyjádřit distribuční funkci vztahem :F(x) = \sum_{t \le x} P(t).
Vlastnosti
Jestliže hodnoty náhodné veličiny leží v intervalu ( a, b \rangle, pak F(a)=0 a F(b)=1.
Distribuční funkci lze, podobně jako pravděpodobnostní funkci, použít k výpočtu pravděpodobnosti, neboť :P[x_1
Důležitá diskrétní rozdělení
Alternativní rozdělení (X nabývá pouze dvou hodnot 0 nebo 1) * Binomické rozdělení (n pokusů se stejnou pravděpodobností) * Poissonovo rozdělení * Negativně binomické rozdělení * Pascalovo rozdělení (speciální případ negativně binomického rozdělení) * Geometrické rozdělení (speciální případ Pascalova rozdělení) * Hypergeometrické rozdělení * Logaritmické rozdělení
Rozdělení pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny
normálních rozdělení s různými charakteristikami. +more Červenou čárou je vyznačeno normované normální rozdělení. Hustota pravděpodobnosti několika normálních rozdělení. Spojitá náhodná veličina má spojitou distribuční funkci F(x). Rozdělení spojité náhodné veličiny nelze popsat pravděpodobnostní funkcí v určitém bodě.
Hustota pravděpodobnosti
Hustota pravděpodobnosti je funkce, jejíž hodnotu pro libovolný zvolený prvek z množiny možných vzorků (hodnot náhodné proměnné) lze interpretovat jako relativní četnost hodnoty tohoto prvku v rámci celé množiny možných vzorků daného času.
Rozdělení pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny se určuje prostřednictvím funkce, která se nazývá hustota rozdělení pravděpodobnosti (hustota pravděpodobnosti). Pro spojitou náhodnou veličinu obecně neplatí, že také hustota pravděpodobnosti je spojitá.
Je-li \rho(x) hustota pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny X, pak platí :\int_\Omega \rho(x)\mathrm{d}x = 1 \,, kde \Omega je definiční obor veličiny X. Pro hodnoty x mimo definiční obor \Omega je hustota pravděpodobnosti nulová, takže \rho(x)=0 pro x\notin \Omega.
Ze znalosti hustoty pravděpodobnosti \rho(x) je možné určit pravděpodobnost, že náhodná veličina X nabývá hodnotu z intervalu \langle x_1,x_2\rangle, tedy :P[x_1\leq X\leq x_2] = \int_{x_1}^{x_2} \rho(x)\mathrm{d}x
Pravděpodobnost, že spojitá náhodná veličina nabývá určité (přesně dané) hodnoty, je nulová, což plyne z předchozího vztahu. Důsledkem toho je, že pro spojitou náhodnou veličinu platí vztahy :P[x_1\leq X\leq x_2] = P[x_1
Distribuční funkce spojité veličiny
Distribuční funkce F(x) jednorozměrné reálné náhodné veličiny X se definuje jako pravděpodobnost, že realizace této náhodné veličiny nepřekročí x: :F(x) = P[X \le x]
Distribuční funkce je neklesající, zprava spojitá, její limita -\infty je nula, v \infty pak jedna.
Komplementární distribuční funkce se pak definuje jako 1 - F(x).
Pro spojitou náhodnou veličinu s hustotou pravděpodobnosti \rho(x) se distribuční funkce dá spočítat také podle vztahu :F(x) = \int\limits_{-\infty}^x \rho(t)\mathrm{d}t
Vlastnosti
Platí, že F(-\infty)=0 a F(\infty)=1.
Distribuční funkci lze použít k výpočtu pravděpodobnosti, neboť :P[x_1\leq X \leq x_2] = F(x_2)-F(x_1)
Lze dokázat, že mezi hustotou pravděpodobnosti \rho(x) a distribuční funkcí F(x) platí vztah :\rho(x)=\frac{\mathrm{d}F(x)}{\mathrm{d}x}, pokud derivace distribuční funkce v daném bodě x existuje.
Důležitá spojitá rozdělení
Rovnoměrné rozdělení * Normální rozdělení (označované také jako Gaussovo rozdělení) * Logaritmicko-normální rozdělení (také log-normální rozdělení) * Exponenciální rozdělení * Cauchyho rozdělení * Gama rozdělení * Laplaceovo rozdělení (nebo také dvojitě exponenciální rozdělení) * Logistické rozdělení * Maxwellovo-Boltzmannovo rozdělení * Studentovo rozdělení * Fisherovo-Snedecorovo rozdělení * χ² rozdělení (Chí kvadrát) * rozdělení beta
Vícerozměrné rozdělení pravděpodobnosti
Sdružená a marginální pravděpodobnost
Mějme n-rozměrný náhodný vektor \mathbf{X}, jehož složkami jsou diskrétní náhodné veličiny X_i. Jejich rozdělení lze popsat sdruženou (simultánní) pravděpodobností :P(\mathrm{x}) = P(x_1,x_2,. +more,x_n) = P[X_1=x_1\cap X_2=x_2\cap\cdots\cap X_n=x_n] Tento vztah udává pravděpodobnost, že náhodná veličina X_1 nabude hodnotu x_1, náhodná veličina X_2 nabude hodnoty x_2, atd. pro všechna X_i a x_i.
Pro n=2 sdružené pravděpodobnosti zobrazují v korelační tabulce
| x | y_1 | y_2 | … | y_s | Součet |
|---|---|---|---|---|---|
| x_1 | P(x_1,y_1) | P(x_1,y_2) | … | P(x_1,y_s) | P_1(x_1) |
| x_2 | P(x_2,y_1) | P(x_2,y_2) | … | P(x_2,y_s) | P_1(x_2) |
| … | … | … | … | … | … |
| x_r | P(x_r,y_1) | P(x_r,y_2) | … | P(x_r,y_s) | P_1(x_r) |
| Součet | P_2(y_1) | P_2(y_2) | … | P_2(y_s) | 1 |
Pravděpodobnosti P_1(x_i) a P_2(y_j) jsou marginální (okrajové) pravděpodobnosti. Platí tedy :P_1(x) = \sum_y P(x,y) :P_2(y) = \sum_x P(x,y)
Dále platí :\sum_x \sum_y P(x,y) = \sum_x P_1(x) = \sum_y P_2(y) = 1
Sdružená a marginální distribuční funkce
Sdruženou (simultánní) distribuční funkci lze pro n-rozměrný náhodný vektor \mathbf{X} diskrétních veličin X_i definovat jako :F(x) = F(x_1,x_2,..,x_n) = F(X_1\leq x_1\cap X_2\leq x_2\cap \cdots\cap X_n\leq x_n)
Sdružená distribuční funkce (pro dvě proměnné X, Y) splňuje podmínky :F(-\infty,y) = F(x,-\infty)=F(-\infty,-\infty)=0 :F(\infty,\infty)=1 Podobné podmínky platí také pro vícerozměrné náhodné vektory.
Marginální (okrajové) distribuční funkce lze pro vektor dvou proměnných X a Y zapsat vztahy :F_1(x)=F(x,\infty) :F_2(y)=F(\infty,y) Podobně lze marginální distribuční funkce určit také v případě vícerozměrných náhodných vektorů.
Sdružená a marginální hustota pravděpodobnosti
Rozdělení dvou spojitých náhodných veličin je možné popsat sdruženou hustotou pravděpodobnosti f(x,y). Sdružená hustota pravděpodobnosti musí splňovat podmínku :\int_\Omega \left[\int_\Omega f(x,y)\mathrm{d}x\right]\mathrm{d}y = 1
Marginální hustoty pravděpodobnosti se určí jako :f_1(x) = \int_\Omega f(x,y)\mathrm{d}y :f_2(y) = \int_\Omega f(x,y)\mathrm{d}x
Sdruženou distribuční funkci pak je :F(x,y) = \int_{-\infty}^x\left[\int_{-\infty}^yf(t,u)\mathrm{d}t\right]\mathrm{d}u
Ze sdružené distribuční funkce lze naopak získat sdruženou hustotu pravděpodobnosti :f(x,y) = \frac{\partial^2 F(x,y)}{\partial x\partial y}
Podobně lze postupovat také v případě n-rozměrných vektorů spojitých náhodných veličin. Sdruženou hustotu pravděpodobnosti je pak možné získat jako :f(\mathbf{x})=f(x_1,x_2,. +more,x_n) = \frac{\partial^n F(x_1,x_2,. ,x_n)}{\partial x_1\partial x_2\cdots\partial x_n}.
Marginální pravděpodobnost lze definovat pro libovolnou skupinu m veličin (m) daného n-rozměrného náhodného vektoru. Rozdělení je závislé pouze na daných m veličinách a na zbývajících n-m veličinách nezávisí. +more Pro m>2 je nutno rozlišovat podvojnou nezávislost a nezávislost vzájemnou.
Jsou-li veličiny X_i vzájemně nezávislé, pak platí :F(\mathbf{x}) = F_1(x_1)F_2(x_2)\cdots F_n(x_n) :P(\mathbf{x}) = P_1(x_1)P_2(x_2)\cdots P_n(x_n) :f(\mathbf{x}) = f_1(x_1)f_2(x_2)\cdots f_n(x_n)
Podmíněné rozdělení pravděpodobnosti
Podmíněné rozdělení náhodné veličiny X vzhledem k veličině y je rozdělení veličiny X za podmínky, že náhodná veličina Y nabyla hodnoty y.
Podmíněné rozdělení je definováno jako podíl rozdělení sdruženého a marginálního.
Pro dvě diskrétní náhodné veličiny X, Y je možné podmíněnou pravděpodobnost veličiny X vzhledem k Y zapsat jako :P(x|y)= \frac{P(x,y)}{P_2(y)} pro P_2(y)\neq 0, kde P_2(y) je marginální pravděpodobnost a P(x,y) je pravděpodobnost sdružená.
Obdobně vznikne pro podmíněnou pravděpodobnost veličiny Y vzhledem k X vztah :P(y|x) = \frac{P(x,y)}{P_1(x)} pro P_1(x)\neq 0, kde P_1(x) je marginální pravděpodobnost a P(x,y) je opět sdružená pravděpodobnost.
Podmíněná distribuční funkce
Podmíněné distribuční funkce zapsat zapsat jako :F(x|y) = \sum_{t \leq x} \frac{P(t,y)}{P_2(y)} :F(y|x) = \sum_{t \leq y} \frac{P(x,t)}{P_1(x)}
Podmíněná hustota pravděpodobnosti
U dvourozměrného náhodného vektoru, jehož složkami jsou spojité náhodné veličiny X a Y, lze podmíněné hustoty pravděpodobnosti vyjádřit jako :f(x|y) = \frac{f(x,y)}{f_2(y)} pro f_2(y)\neq 0 a :f(y|x) = \frac{f(x,y)}{f_1(x)} pro f_1(x)\neq 0, kde f(x,y) je sdružená hustota pravděpodobnosti a f_1(x) a f_2(y) jsou marginální hustoty pravděpodobnosti.
Pro podmíněné distribuční funkce spojitých náhodných veličin X, Y pak platí :F(x|y) = \frac{\int_{-\infty}^x f(t,y)\mathrm{d}t}{f_2(y)} :F(y|x) = \frac{\int_{-\infty}^y f(x,t)\mathrm{d}t}{f_1(x)}
Charakteristiky rozdělení náhodné veličiny
Charakteristiky náhodné veličiny jsou vhodně vybrané číselné údaje, které shrnují základní informace o rozdělení pravděpodobnosti náhodné veličiny. Charakteristiky poskytují pouze základní a hrubou představu o náhodné veličině, neboť charakteristiky (obvykle) nepostačují k jednoznačnému popisu rozdělení pravděpodobnosti. +more Naproti tomu rozdělení pravděpodobnosti sice poskytuje jednoznačný popis náhodné veličiny, obvykle však není dostatečně přehledné.
Důležitými charakteristikami rozdělení jsou střední hodnota a rozptyl.
Literatura
HAMPL, Martin. [url=https://www. +morenatur. cuni. cz/geografie/socialni-geografie-a-regionalni-rozvoj/other/files/hampl-realita-spolecnost]Realita, společnost a geografická organizace: hledání integrálního řádu[/url]. Praha : DemoArt, 1998.
Související články
Náhodná veličina * Normální rozdělení * Amplituda pravděpodobnosti