Hypergeometrické rozdělení

Hypergeometrické rozdělení je jedním z rozdělení pravděpodobnosti diskrétní náhodné veličiny. Popisuje pravděpodobnost p(x), že při výběru n prvků z množiny o velikosti N, v níž má A prvků požadovanou vlastnost, bude mít právě x prvků tuto vlastnost.

Definice

Náhodná veličina X má hypergeometrické rozdělení s parametry N, A a n, jestliže její pravděpodobnostní funkce je dána: :\operatorname{P}(X=x) = \begin{cases} {{{A \choose x} {{N-A} \choose {n-x}}}\over {N \choose n}} & \text{pro } x \in \langle \text{max} (0,A-N+n),. , \text{min} (A,n) \rangle \\ 0 & \text{jinak. +more} \end{cases} .

Pro přirozená čísla N, A a n platí 1 \leq n \leq N a 1 \leq A \leq N. Parametr N označuje celý soubor jednotek, z nichž A jednotek má sledovanou vlastnost. +more Z tohoto souboru vybíráme n jednotek bez vracení. Náhodná veličina X označující počet vybraných jednotek vykazujících sledovanou vlastnost se řídí hypergeometrickým rozdělením.

Charakteristiky

Pro výpočet střední hodnoty platí: :\operatorname{E}(X) = \frac{n \cdot A}{N}, pro výpočet rozptylu platí: :\operatorname{var}(X) = n \frac{A}{N} \left(1 - \frac{A}{N} \right) \left(\frac{N-n}{N-1} \right) , pro výpočet koeficientu šikmosti platí: :\alpha_3 = \frac{(N-2A)(N-1)^\frac{1}{2}(N-2n)}{[nA(N-A)(N-n)]^\frac{1}{2}(N-2)} a pro výpočet koeficientu špičatosti platí: :\alpha_4 = \left. \frac{1}{n A(N-A)(N-n)(N-2)(N-3)}\cdot\right. +more\Big[(N-1)N^{2}\Big(N(N+1)-6A(N-A)-6n(N-n)\Big)+6 n A (N-A)(N-n)(5N-6)\Big].

Příklad

Spočítejme pravděpodobnost s jakou bude student u zkoušky umět právě jednu ze tří náhodně vybraných otázek, pokud se naučil pouze pět otázek z dvaceti.

Celý soubor obsahuje 20 jednotek, z toho sledovanou vlastnost má 5 jednotek. Ze souboru vybíráme 3 jednotky bez vracení. +more Hledáme pravděpodobnost, s jakou je náhodná veličina X rovna 1. Tedy: :\operatorname{P}(X=1) = {{{5 \choose 1} {{20-5} \choose {3-1}}}\over {20 \choose 3}} = {{5 \cdot 105}\over 1140} = 0,\. 46.

Související články

Rozdělení pravděpodobnosti * Binomické rozdělení

Externí odkazy

Literatura

JARUŠKOVÁ, Daniela. Pravděpodobnost a matematická statistika. Vyd. 2. Praha: Česká technika - nakladatelství ČVUT, 2006, 138 s. .

Kategorie:Rozdělení pravděpodobnosti