Střední hodnota

Střední hodnota je nejznámější míra polohy ve statistice. Často se nazývá očekávaná hodnota (odtud značka E = Expected, anglicky očekávaný) nebo populační průměr případně první moment.

Střední hodnota náhodné veličiny X se značí \operatorname{E}X, \operatorname{E}(X) nebo také \langle X\rangle. Střední hodnota náhodné proměnné je klíčovým aspektem jejího rozdělení pravděpodobnosti. +more Střední hodnota diskrétní náhodné veličiny je pravděpodobnostně vážený průměr všech jejích možných hodnot, pro spojitou náhodnou proměnnou je součet nahrazen integrálem proměnné vzhledem k její hustotě pravděpodobnosti.

Definice

Střední hodnota náhodné veličiny je funkcionál jejího rozdělení, jenž je obecně definován jako následující Lebesgueův integrál (který lze chápat jako jakýsi „vážený průměr“ veličin z daného rozdělení, jejichž váhou je pravděpodobnost výskytu): :\operatorname{E}X = \int_{R} x \mathrm{d}P(x), kde P je pravděpodobnostní míra určující rozdělení náhodné veličiny X. Pokud výraz na pravé straně nekonverguje absolutně, pak říkáme, že střední hodnota neexistuje.

Speciálně: * Má-li náhodná veličina X spojité rozdělení s hustotou rozdělení f(x), pak :\operatorname{E}X = \int_{R} x f(x) \mathrm{d}x. * Má-li náhodná veličina X diskrétní rozdělení kde P[X=s_{i}]=p_{i} pro i \in I nejvýše spočetnou množinu různých výsledků, pak :\operatorname{E}X = \sum_{I} s_{i} p_{i}

Vlastnosti

Střední hodnota konstanty c je :\operatorname{E}(c)=c

Pro střední hodnotu součinu náhodné veličiny X a konstanty c platí :\operatorname{E}(cX)=c\operatorname{E}(X)

Střední hodnota součtu dvou náhodných veličin X, Y je rovna součtu středních hodnot těchto veličin, tedy :\operatorname{E}(X+Y)=\operatorname{E}(X)+\operatorname{E}(Y) Tento vztah lze samozřejmě zobecnit na součet libovolného počtu náhodných veličin.

Pro nezávislé náhodné veličiny X, Y je střední hodnota součinu těchto veličin rovna součinu jejich středních hodnot, tzn. :\operatorname{E}(XY)=\operatorname{E}(X)\operatorname{E}(Y) Tento vztah je možné zobecnit pro součin libovolného počtu vzájemně nezávislých náhodných veličin.

Podmíněná střední hodnota: * \operatorname{E}(aX\mid Y)=a

* \operatorname{E}(aX+bY\mid Z)=a\operatorname{E}(X\mid Z)+b\operatorname{E}(Y\mid Z)

* \operatorname{E}[\operatorname{E}(X\mid Y)]=\operatorname{E}(X) * \operatorname{E}(\psi(Z)U\mid Z)=\psi (Z)\operatorname{E}(U\mid Z) kde a, b \in R a X,Y,Z jsou náhodné vektory

Příklady

Diskrétní náhodná veličina

Mějme náhodnou veličinu, která s pravděpodobností 0,3 nabývá hodnoty 1, s pravděpodobností 0,2 nabývá hodnoty 2 a s pravděpodobností 0,5 nabývá hodnoty 3.

Střední hodnota je pak (0,3 × 1) + (0,2 × 2) + (0,5 × 3) = 2,2.

Spojitá náhodná veličina

Mějme náhodnou veličinu, jejíž hustota pravděpodobnosti na intervalu je f(x) = 2x , jinde identicky rovna nule. To je rozdělení, v němž je hustota pravděpodobnosti přímo úměrná hodnotě x.

Potom střední hodnotu lze z definice spočítat pomocí integrálu

:\operatorname{E}X = \int_{R} x f(x) \,\mathrm{d}x = \int_{0}^1 x \cdot 2x \,\mathrm{d}x = \int_0^1 2 x^2 \,\mathrm{d}x = \left[ \frac{2}{3} x^3\right ]_0^1 = \frac{2}{3} 1^3 - \frac{2}{3} 0^3 = \frac{2}{3} .

Střední hodnota uvedené náhodné veličiny tedy je .

Reference

Související články

Medián * Rozptyl (statistika) * Charakteristika náhodné veličiny

Kategorie:Charakteristiky náhodné veličiny