Cauchyho rozdělení

Cauchyho rozdělení, nazývané též Cauchy-Lorentzovo rozdělení po Augustinu Cauchyovi a Hendriku Lorentzovi, je jedním ze spojitých pravděpodobnostních rozdělení. Jako rozdělení pravděpodobnosti je známo jako Cauchyho rozdělení, zatímco většina fyziků ho zná jako Lorentzovo rozdělení, Lorentzova funkce, Lorentzova křivka nebo Breit-Wignerovo rozdělení. Má význam ve fyzice, protože je řešením diferenciální rovnice popisující silnou rezonanci. Ve spektroskopii popisuje rozložení spektrálních čar.

Charakteristika

Hustota pravděpodobnosti

Cauchyho rozdělení. +more Na obrázku je parametr a označen x_0 a λ jako γ Cauchyho rozdělení pravděpodobnosti s parametry a a λ, pro -\infty a \lambda>0, je definováno hustotou pravděpodobnosti ve tvaru.

:\begin{align} f(x; a,\lambda) &= \frac{1}{\pi\lambda \left[1 + \left(\frac{x-a}{\lambda}\right)^2\right]} \\[0.5em] &= { 1 \over \pi } \left[ {\lambda \over (x - a)^2 + \lambda^2 } \right] \end{align}

kde a je parametr polohy a λ parametr variability rozdělení.

Zvláštní případ, kdy a=0 a λ=1, se nazývá standardní Cauchyho rozdělení s hustotou pravděpodobnosti vyjádřenou vztahem

: f(x) = \frac{1}{\pi (1 + x^2)}.

Vlastnosti

modus i medián C. rozdělení se rovnají a. +more * Cauchyho rozdělení je příkladem rozdělení, které nemá střední hodnotu ani rozptyl. * Pokud X1, …, Xn jsou nezávislé stejně rozdělené náhodné veličiny se standardním Cauchyovým rozdělením, pak jejich aritmetický průměr (X1 + … + Xn)/n má opět standardní Cauchyho rozdělení.

Charakteristická funkce

Nechť X značí náhodnou veličinu s Cauchyho rozdělením s parametry a, λ. Jeho Charakteristická funkce je pak rovna:

:\phi_X(t; a,\gamma) = \mathrm{E}(e^{i\,X\,t}) = \exp(i\,a\,t-\gamma\,|t|)\!.

Související rozdělení

Pokud má náhodná veličina U standardní rovnoměrné rozdělení, má n. v. X = cotg (\pi U) standardní Cauchyho rozdělení.

* Standardní Cauchyho rozdělení vzniká jako speciální případ Studentova rozdělení s jedním stupněm volnosti.

* Pokud U a V jsou dvě nezávislé normálně rozdělené náhodné veličiny se střední hodnotou 0 a rozptylem 1, tak jejich podíl U/V má standardní Cauchyho rozdělení.

Relativistické Breit-Wignerovo rozdělení

V jaderné fyzice a částicové fyzice, je energetický profil rezonance popsán relativistickým Breit-Wignerovým rozdělením.

Reference

Rektorys, K. a spol.: Přehled užité matematiky II.. Prometheus, Praha, 2003, 6. přepracované vydání.

Externí odkazy

anglicky * [url=http://mathworld. wolfram. +morecom/CauchyDistribution. html]Cauchyho rozdělení na MathWorldu. [/url] * [url=http://www. gnu. org/software/gsl/manual/gsl-ref. html#SEC294]GNU Scientific Library - Reference Manual[/url] * [url=http://www. elektro-energetika. cz/calculations/distrcauchy. php]Online kalkulátor- Cauchyho rozdělení[/url].

Kategorie:Rozdělení pravděpodobnosti Kategorie:Augustin Louis Cauchy