Cesko.wiki Distribuční funkce
Technology
12 hours ago
8
4
2
Author
Albert Floresnormálních rozdělení s různými charakteristikami. Červenou čárou je vyznačeno normované normální rozdělení. Hustota pravděpodobnosti několika normálních rozdělení. Distribuční funkce, funkce rozdělení (pravděpodobnosti) nebo (spíše lidově) (zleva) kumulovaná pravděpodobnost je funkce, která udává pravděpodobnost, že hodnota náhodné proměnné je menší než zadaná hodnota (nerovnost může být i neostrá).
Distribuční funkce jednoznačně určuje rozdělení pravděpodobnosti a ve spojitém případě je úzce spjatá s funkcí hustoty pravděpodobnosti.
Definice
Nechť X je náhodná proměnná z určitého rozdělení a x je libovolné reálné číslo. Potom funkci F:\mathbb{R}\to\langle0,1\rangle definovanou předpisem
:F(x)=\mathrm{Pr}[X\le x]
nazýváme distribuční funkce tohoto rozdělení. V případě, že X je spojitá náhodná proměnná s hustotou f, potom platí:
:F(x) = \int_{-\infty}^x f(t)\,dt.
Vlastnosti distribuční funkce
| Popis | Matematická formulace |
|---|---|
| Distribuční funkce je zprava spojitá | \lim_{x\to\alpha^{+}}F(x)=F(\alpha) |
| Distribuční funkce je neklesající | \alpha |
| Asymptotické vlastnosti | \lim_{x\to+\infty}F(x)=1 \lim_{x\to-\infty}F(x)=0 |
| Pro libovolnou dvojici \alpha,\beta platí | \mathrm{Pr}[\alpha |
Příklady
V následující tabulce jsou uvedeny příklady distribučních funkcí. Distribuční funkci není možné vždycky vyjádřit explicitním vzorcem, jako je tomu u normálního rozdělení. +more V tomto případě se používá přímo definice distribuční funkce ve spojitém případě jako funkce horní hranice.
| Rozdělení | Distribuční funkce |
|---|---|
| Rovnoměrné rozdělení na intervalu [\alpha,\beta] | F(x)=\left\{\begin{array}{ll}0&x\beta\end{array}\right. |
| Normální rozdělení | F(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\int\limits_{-\infty}^{x}\exp\left\{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right\} |
| Exponenciální rozdělení | F(x)=\left\{\begin{array}{ll}0&x |