Cesko.wiki Booleova nerovnost
Author
Albert FloresBooleova nerovnost, známá také jako nerovnost Booleova typu, je nerovnost definovaná pro diskrétní náhodné veličiny. Tato nerovnost je pojmenována po anglickém matematikovi a logikovi Georgu Booleovi, který ji poprvé formuloval v roce 1851. Booleova nerovnost je zobecněním Markovovy nerovnosti. Nerovnost dává horní odhad pravděpodobnosti, že diskrétní náhodná veličina nabývá hodnoty větší než určité číslo. Booleova nerovnost je důležitým nástrojem v teorii pravděpodobnosti a statistice. Tato nerovnost je často využívána k odvození dalších nerovností nebo k důkazu existujících vlastností náhodných veličin. Booleova nerovnost je vyjádřena pomocí exponenciální funkce a vztahuje se k momentovým generujícím funkcím. Tento vztah umožňuje odhadnout pravděpodobnost výskytu určitých jevů v rámci rozložení dané náhodné veličiny. Booleova nerovnost je důležitou součástí teorie nerovností a má široké uplatnění v mnoha oblastech vědy, jako je teorie informace, statistika, teorie her a další. Tato nerovnost slouží k analýze diskrétních náhodných jevů a pomáhá při odvozování různých pravidel a vlastností statistických modelů. V článku jsou také uvedeny důkazy a příklady využití Booleovy nerovnosti v různých situacích. Tento koncept je také spojen s dalšími teoretickými a praktickými problémy v rámci matematiky a statistiky, které jsou v článku také stručně zmíněny.
Booleova nerovnost je označení pro tvrzení z oboru teorie pravděpodobnosti pojmenované po Georgeovi Booleovi, které říká, že pro každou spočetnou množinu náhodných jevů je pravděpodobnost, že alespoň jeden z nich nastane, nejvýše rovna součtu pravděpodobností jednotlivých jevů.
Z hlediska teorie míry je tvrzení důsledkem skutečnosti, že jakákoliv míra včetně pravděpodobnostní míry je spočetně subaditivní.
Formální vyjádření
Pro spočetnou množinu náhodných jevů A_1,A_2,\dots platí :\mathbb{P}\left(\bigcup_{i} A_i\right) \le \sum_i {\mathbb P}(A_i).
Důkaz indukcí
Případ n=1, zjevně platí, neboť
:\mathbb P(A_1) \le \mathbb P(A_1).
Předpokládejme, že tvrzení platí pro n, tedy
:{\mathbb P}\left (\bigcup_{i=1}^{n} A_i\right ) \le \sum_{i=1}^{n} {\mathbb P}(A_i).
Protože platí \mathbb P(A \cup B) = \mathbb P(A) + \mathbb{P}(B) - \mathbb{P}(A \cap B), a operace sjednocení je asociativní, platí
:\mathbb{P}\left(\bigcup_{i=1}^{n+1}A_i\right) = \mathbb{P}\left(\bigcup_{i=1}^n A_i\right) + \mathbb{P}(A_{n+1}) -\mathbb{P} \left(\bigcup_{i=1}^n A_i \cap A_{n+1}\right).
Dále protože
:{\mathbb P}\biggl(\bigcup_{i=1}^n A_i \cap A_{n+1}\biggr) \ge 0,
pak podle prvního Kolmogorovova axiomu pravděpodobnosti máme
:\mathbb{P}\left(\bigcup_{i=1}^{n+1} A_i\right ) \le \mathbb{P}\left (\bigcup_{i=1}^n A_i\right) + \mathbb{P}(A_{n+1}),
a tedy v kombinaci s indukčním předpokladem
:\mathbb{P}\left(\bigcup_{i=1}^{n+1} A_i\right ) \le \sum_{i=1}^{n} \mathbb{P}(A_i) + \mathbb{P}(A_{n+1}) = \sum_{i=1}^{n+1} \mathbb{P}(A_i).