Cauchyho–Riemannovy podmínky

V matematice, konkrétně v komplexní analýze, jsou Cauchyho-Riemannovy podmínky nutnou (ne však postačující) podmínkou, aby daná funkce byla holomorfní (tedy komplexně diferencovatelná). Postačující podmínkou je např. pokud mají funkce u,v spojité parciální derivace. Jde o parciální diferenciální rovnice pojmenované po Augustinu Cauchym a Bernhardu Riemannovi. Poprvé se tyto rovnice objevily roku 1752 v práci D'Alemberta.

Cauchyova-Riemannova věta

Následující tvrzení, které charakterizuje holomorfní funkce pomocí Cauchyových-Riemannových podmínek, bývá označováno jako Cauchyova-Riemannova věta.

Buď f(x + iy) = u + iv funkce z otevřené podmnožiny komplexních čísel C do C, kde x a y jsou reálná čísla a u, v jsou reálné funkce definované na otevřené podmnožině R2. Potom f je holomorfní právě když u a v jsou spojitě diferencovatelné a jejich parciální derivace splňují Cauchyho-Riemannovy podmínky:

:{ \partial u \over \partial x } = { \partial v \over \partial y}

a

:{ \partial u \over \partial y } = -{ \partial v \over \partial x}.

Kompaktní formulace

Tyto dvě podmínky lze ekvivalentně vyjádřit pomocí jediného vztahu:

:{ i { \partial f \over \partial x } } = { \partial f \over \partial y } .

Formulace v polárních souřadnicích

Je-li komplexní číslo zapsáno v polárních souřadnicích: z=re^{i\theta}, lze zapsat Cauchyho-Riemannovy podmínky ve tvaru: :{ \partial u \over \partial r } = {1 \over r}{ \partial v \over \partial \theta},

:{ \partial v \over \partial r } = -{1 \over r}{ \partial u \over \partial \theta}.

Kompaktní formulace v polárních souřadnicích

Opět lze tyto dvě rovnice zapsat pomocí jediné:

:{\partial f \over \partial r} = {1 \over i r}{\partial f \over \partial \theta},

kde derivace uvažujeme v bodě re^{i\theta}.

Odvození

Jako derivace funkce dvou proměnných

První možností jak vést důkaz je říci, že má-li funkce parciální derivaci jako funkce dvou proměnných, potom musí mít stejnou hodnotu podél všech křivek procházejících daným bodem. Máme-li funkci f(z) = u(x, y) + i v(x, y) nad C, a počítáme-li derivaci v bodě, z0, přibližujeme se k z0 nejprve po křivce podél reálné osy a poté podél imaginární osy. +more Obě hodnoty derivací musí vyjít stejné.

Podél reálné osy:

:

f'(z)\,	=\lim_{h\rightarrow 0} {f(z+h)-f(z) \over h}
=\lim_{h\rightarrow 0}{u(x+h,y)+iv(x+h,y)-[u(x,y)+iv(x,y)]\over h}
=\lim_{h\rightarrow 0}{[u(x+h,y)-u(x,y)]+i[v(x+h,y)-v(x,y)]\over h}
=\lim_{h\rightarrow 0}{\left[\frac{u(x+h,y)-u(x,y)}{h}+i\frac{v(x+h,y)-v(x,y)}{h}\right]},

což je z definice parciální derivace rovno

:f'(z)={\partial u \over \partial x} + i {\partial v \over \partial x}.

Podél imaginární osy:

:

f'(z)\,	=\lim_{h\rightarrow 0} {f(z+ih)-f(z) \over ih}
=\lim_{h\rightarrow 0}{u(x,y+h)+iv(x,y+h)-[u(x,y)+iv(x,y)]\over ih}
=\lim_{h\rightarrow 0}{\left[\frac{u(x,y+h)-u(x,y)}{ih} +i\frac{v(x,y+h)-v(x,y)}{ih}\right]}
=\lim_{h\rightarrow 0}{\left[-i\frac{u(x,y+h)-u(x,y)}{h}+\frac{v(x,y+h)-v(x,y)}{h}\right]}
=\lim_{h\rightarrow 0}{\left[\frac{v(x,y+h)-v(x,y)}{h}-i\frac{u(x,y+h)-u(x,y)}{h}\right]}.

tedy opět z definice parciální derivace:

:f'(z)={\partial v \over \partial y} - i {\partial u \over \partial y}.

Porovnáním těchto dvou výsledků

:{\partial u \over \partial x} + i {\partial v \over \partial x} = {\partial v \over \partial y} - i {\partial u \over \partial y}.

Má-li se rovnat reálná i imaginární část bude

:{\partial u \over \partial x} = {\partial v \over \partial y}

:{\partial u \over \partial y} = - {\partial v \over \partial x}. \quad\square

Pomocí reprezentace derivace jako lineárního zobrazení

Další možností, jak odvodit Cauchyho-Riemannovy podmínky je uvažovat komplexní derivaci jako lineární zobrazení a to dvěma způsoby - jako zobrazení z \mathbb{C} do \mathbb{C} a jako zobrazení z \mathbb{R}^{2} do \mathbb{R}^{2}.

Chápeme-li f přirozeným způsobem jako funkci z \mathbb{R}^{2} do \mathbb{R}^{2}, je lineární zobrazení L totálním diferenciálem f v bodě z, platí-li:

:\,f(z+h)=f(z) + L(h) + \xi(h), kde \xi je funkce splňující \lim_{h\rightarrow 0}\frac{\xi(h)}{\|h\|}=0.

Na druhou stranu si uvědomme, že komplexní číslo w je komplexní derivací funkce f:\mathbb{C}\rightarrow\mathbb{C} v bodě z, právě když pro všechna h\in\mathbb{C} platí:

:\,f(z+h)=f(z) + w\cdot h + \xi(h), kde \xi je opět funkce splňující \lim_{h\rightarrow 0}\frac{\xi(h)}

h

=0.

Přitom w = s + it určuje jednoznačně lineární zobrazení W:\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}^2 dané maticí

:W= \begin{pmatrix} s & -t \\ t & \;\; s \end{pmatrix}.

Toto zobrazení splňuje (stále při přirozeném ztotožňování komplexních čísel s vektory z \mathbb{R}^2) vztah W(h)= w\cdot h, tedy platí:

:\,f(z+h)=f(z) + W(h) + \xi(h), kde \xi je opět funkce splňující \lim_{h\rightarrow 0}\frac{\xi(h)}

h

=0..

Tedy na jednu stranu, má-li f v bodě z komplexní derivaci w, je zobrazení W totálním diferenciálem f(x,y)=u(x,y)+i\cdot v(x,y) a tedy platí:

:W= \begin{pmatrix} s & -t \\ t & \;\; s \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \frac{\partial u}{\partial x}(z) & \frac{\partial u}{\partial y}(z) \\ \frac{\partial v}{\partial x}(z) & \frac{\partial v}{\partial y}(z) \end{pmatrix},

odkud Cauchyho-Riemannovy podmínky zřejmě plynou.

Na druhou stranu, má-li f = u + iv spojité parciální derivace v z, má v z totální diferenciál:

:\mathrm{d}f(z)= \begin{pmatrix} \frac{\partial u}{\partial x}(z) & \frac{\partial u}{\partial y}(z) \\ \frac{\partial v}{\partial x}(z) & \frac{\partial v}{\partial y}(z) \end{pmatrix}.

Pak z dříve dokázaných vztahů je číslo w=\frac{\partial u}{\partial x}(z)+i\cdot\frac{\partial v}{\partial x}(z) komplexní derivací funkce f, neboť díky platnosti Cauchyho-Riemannových podmínek je lineární zobrazení W určené takto definovaným w rovno \mathrm{d}f(z). \quad\square

Reference

Veselý, J.: Komplexní analýza, Karolinum Praha, 2000

Externí odkazy

Kategorie:Komplexní analýza Kategorie:Matematické věty a důkazy Kategorie:Augustin Louis Cauchy Kategorie:Bernhard Riemann