Ehrenfestovy teorémy

Technology

12 hours ago

Author

Ehrenfestovy teorémy (též Ehrenfestovy rovnice) určují vztah mezi časovou derivací střední hodnoty kvantově-mechanického operátoru a komutátorem tohoto operátoru s hamiltoniánem daného systému. Obecné vyjádření má tvar :\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\langle \hat{A}\rangle = \frac{1}{\mathrm{i}\hbar}\left\langle \left[\hat{A},\hat{H}\right] \right\rangle + \left\langle \frac{\partial\hat{A}}{\partial t}\right\rangle , kde \hat{A} je nějaký kvantově-mechanický operátor a \langle \hat{A}\rangle je jeho střední hodnota. Tvrzení je pojmenováno po Paulu Ehrenfestovi.

Ehrenfetovy teorémy mají úzký vztah k Liouvillově větě v Hamiltonovské formulaci mechaniky, kde se místo komutátoru vyskytuje Poissonova závorka.

Odvození

Uvažujme systém, který se nachází v kvantovém stavu \Phi. Pro časovou derivaci střední hodnoty operátoru \hat{A} platí : \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\langle \hat{A}\rangle = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\int \Phi^\star \hat{A} \Phi ~\mathrm{d}x^3 = \int \left( \frac{\partial \Phi^\star}{\partial t} \right) \hat{A}\Phi ~\mathrm{d}x^3 + \int \Phi^\star \left( \frac{\partial \hat{A}}{\partial t}\right) \Phi ~\mathrm{d}x^3 +\int \Phi^\star \hat{A} \left( \frac{\partial \Phi}{\partial t} \right) ~\mathrm{d}x^3 = :: = \int \left( \frac{\partial \Phi^\star}{\partial t} \right) \hat{A}\Phi ~\mathrm{d}x^3 + \left\langle \frac{\partial \hat{A}}{\partial t}\right\rangle + \int \Phi^\star \hat{A} \left( \frac{\partial \Phi}{\partial t} \right) ~\mathrm{d}x^3 , přičemž se integruje přes celý prostor. +more V mnoha případech (ale ne vždy) je operátor \hat{A} časově nezávislý, takže jeho derivace je nulová. V takovém případě je možné zanedbat člen \left\langle \frac{\partial \hat{A}}{\partial t}\right\rangle.

Pomocí Schrödingerovy rovnice lze zjistit, že :\frac{\partial \Phi}{\partial t} = \frac{1}{\mathrm{i}\hbar}\hat{H}\Phi a také :\frac{\partial \Phi^\star}{\partial t} = \frac{-1}{\mathrm{i}\hbar}\Phi^\star\hat{H}^\star = \frac{-1}{\mathrm{i}\hbar}\Phi^\star \hat{H} Vzhledem k tomu, že hamiltonián je hermiteovský operátor, bude platit \hat{H}=\hat{H}^\star. Dosazením do předchozí rovnice dostaneme :\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\langle \hat{A}\rangle = \frac{1}{\mathrm{i}\hbar}\int \Phi^\star (\hat{A}\hat{H}-\hat{H}\hat{A}) \Phi ~\mathrm{d}x^3 + \left\langle \frac{\partial \hat{A}}{\partial t}\right\rangle = \frac{1}{\mathrm{i}\hbar}\left\langle \left[\hat{A},\hat{H}\right]\right\rangle + \left\langle \frac{\partial \hat{A}}{\partial t}\right\rangle

Příklad

Pro hmotnou částici v potenciálním poli lze hamiltonián zapsat jako : \hat{H}(x,p,t) = \frac{p^2}{2m} + V(x,t) , kde x je poloha částice. Předpokládejme, že chceme znát okamžitou změnu hybnosti p. +more Z Ehrenfestova teorému dostaneme : \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\langle \hat{p}\rangle = \frac{1}{\mathrm{i}\hbar}\left\langle \left[\hat{p},\hat{H}\right]\right\rangle + \left\langle \frac{\partial \hat{p}}{\partial t}\right\rangle = \frac{1}{\mathrm{i}\hbar}\langle \left[\hat{p},V(x,t)\right]\rangle , kde bylo využito toho, že p komutuje samo se sebou a v souřadnicové reprezentaci lze operátor hybnosti vyjádřit jako \hat{p} = -\mathrm{i}\hbar\nabla, z čehož plyne \frac{\partial \hat{p}}{\partial t} = 0. Tedy : \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\langle \hat{p}\rangle = \int \Phi^\star V(x,t)\nabla\Phi ~\mathrm{d}x^3 - \int \Phi^\star \nabla (V(x,t)\Phi) ~\mathrm{d}x^3 Pomocí pravidla o derivaci součinu dostaneme : \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\langle \hat{p}\rangle = \langle -\nabla V(x,t)\rangle = \langle \hat{F} \rangle. Tento výraz má tvar druhého Newtonova zákona. Operátor \hat{F} lze pak chápat jako operátor síly.

Jedná se o příklad principu korespondence.

Jiným příkladem je vztah mezi změnou polohy a hybností, který lze vyjádřit jako :\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left\langle\hat{x}\right\rangle = \left\langle\frac{\mathrm{d}\hat{x}}{\mathrm{d}t}\right\rangle = \frac{\left\langle\hat{p}\right\rangle}{m}, kde m je hmotnost částice.