Eukleidova věta o výšce

Obrázek s popsanými úsečkami vyskytujícími se v Eukleidových větách. Jako Eukleidovy věty se označují matematické věty o délkách odvěsen a výšky pravoúhlého trojúhelníku. Jsou pojmenované po svém objeviteli, řeckém matematiku Eukleidovi. Jsou to:

* Eukleidova věta o výšce: v_c^2=c_a\cdot c_b * Eukleidova věta o odvěsně (pro odvěsnu a): a^2=c\cdot c_a * Eukleidova věta o odvěsně (pro odvěsnu b): b^2=c\cdot c_b Pomocí Eukleidových vět je taky možné dokázat Pythagorovu větu a naopak pomocí Pythagorovy věty lze dokázat Eukleidovy věty.

Eukleidova věta o výšce

Obsah čtverce sestrojeného nad výškou pravoúhlého trojúhelníku je roven obsahu obdélníku sestrojeného z obou úseků přepony.

v_c^2 = c_a \cdot c_b

Důkaz s využitím podobnosti trojúhelníků

Označíme-li P patu kolmice z bodu C na přeponu AB (viz označení na obrázku), z podobnosti trojúhelníků APC a CPB plyne:

\frac{v_c}{c_a} = \frac{c_b}{v_c}

Obě strany rovnice vynásobíme číslem v_c\cdot c_a a dostaneme Eukleidovu větu:

v_c^2 = c_a \cdot c_b

Důkaz z Pythagorovy věty

Z Pythagorovy věty plyne:

v_c^2 = b^2 - c_b^2

v_c^2 = a^2 - c_a^2

Rovnice sečteme:

2v_c^2 = a^2 + b^2 - c_a^2 - c_b^2

Upravíme první 2 členy podle Pythagorovy věty:

2v_c^2 = c^2 - c_a^2 - c_b^2

Dosadíme c=c_a+c_b:

2v_c^2 = (c_a + c_b)^2 - c_a^2 - c_b^2

Roznásobíme, odečteme a vydělíme dvěma:

2v_c^2 = c_a^2 + 2c_a c_b + c_b^2 - c_a^2 - c_b^2

2v_c^2 = 2c_a c_b

v_c^2 = c_a c_b

Důkaz pomocí obsahů

Velký trojúhelník je poskládán dvěma způsoby. +more Čtverec nad výškou je nahrazen obdélníkem. V pravoúhlém trojúhelníku ABC sestrojíme růžový čtverec nad výškou v a obdélník se stranami ca a cb. Doplníme obrázek do velkého pravoúhlého trojúhelníku. Velký trojúhelník je poskládán dvojím způsobem. Čtverec nad odvěsnou o obsahu v^2je ve druhém rozkladu nahrazen obdélníkem o obsahu c_a \cdot c_b. Odtud růžové objekty musí mít stejný obsah.

Eukleidova věta o odvěsně

Obsah čtverce sestrojeného nad odvěsnou pravoúhlého trojúhelníku je roven obsahu obdélníku sestrojeného z přepony a úseku přepony k této odvěsně přilehlé.

a^2 = c \cdot c_a

b^2 = c \cdot c_b

Důkaz s využitím podobnosti trojúhelníků

Z podobnosti trojúhelníků ACB a CPB plyne:

\frac{a}{c_a}=\frac{c}{a}

Obě strany rovnice vynásobíme a\cdot c_a a dostaneme Eukleidovu větu:

a^2 = c \cdot c_a

Pro důkaz Euklidovy věty pro druhou odvěsnu bychom jen zaměnili body A a B, odvěsny a a b a části přepony ca a cb.

Důkaz z Pythagorovy věty

Vycházíme z toho, že platí Euklidova věta o výšce (důkaz viz výše). Z Pythagorovy věty plyne:

a^2 = v_c^2 + c_a^2

a^2 = c_a c_b + c_a^2

\ a^2 = (c_a + c_b) c_a

\ a^2 = c c_a

Pro druhou odvěsnu plyne z principu záměny (symetrie) odvěsen. +moresvg|náhled'>Důkaz Eukleidovy věty o odvěsně. Obsah velkého trojúhelníku je poskládán dvojím způsoben. Čtverec nad odvěsnou je nahrazen obdélníkem. Tento důkaz nelze použít, pokud máme zároveň z Eukleidovy věty dokazovat Pythagorovu větu, protože se jednalo o důkaz kruhem. V takovém případě je nutné použít jiný důkaz Eukleidovy věty.

Důkaz pomocí obsahů

Pro zelený pravoúhlý trojúhelník ABC sestrojíme růžový čtverec nad odvěsnou b = AC a obdélník se stranami c a cb. Doplníme obrázek šedými pomocnými trojúhelníky. +more Obsah velkého trojúhelníku je poskládán dvojím způsobem. Čtverec nad odvěsnou o obsahu b^2je nahrazen obdélníkem o obsahu c \cdot c_b.

Délka výšky

Na základě znalosti Eukleidových vět a daných délek stran a a b lze vypočítat délku výšky:

v^2 = \frac{a^2 \cdot b^2}{c^2} = \frac{a^2 \cdot b^2}{a^2 + b^2}

v = \sqrt{\frac{a^2 \cdot b^2}{a^2 + b^2}} = \frac{a \cdot b}{\sqrt{a^2 + b^2}}

Příklad

Mějme pravoúhlý trojúhelník se stranami a=5,\,c=8 (v libovolných, ale shodných jednotkách). Vypočítejte výšku v_c\,\!.

Platí:

v_c^2 = c_a \cdot c_b

a^2 = c \cdot c_a\,\!

Po dosazení do druhého vzorce:

25 = 8 \cdot c_a\,\!

c_a = 25 : 8\,\!

c_a = 3{,}125\,\!

Dopočet c_b\,\!:

c_b = c - c_a\,\!

c_b = 4{,}875\,\!

Po dosazení do prvního vzorce:

v_c^2 = c_a \cdot c_b

v_c^2 = 3{,}125 \cdot 4{,}875

v_c^2 \doteq 15{,}23

v_c \doteq 3{,}9\,\!

Výška tohoto trojúhelníku je přibližně 3,9.

Odkazy

Související články

Externí odkazy

Pythagorova věta

Kategorie:Geometrie Kategorie:Matematické věty a důkazy Kategorie:Trojúhelník