Hadamardova nerovnost

Hadamardova nerovnost je označení pro matematickou nerovnost poprvé zveřejněnou Jacquesem Hadamardem v 1893 a vymezující maximální možnou hodnotu determinantu matice složené z komplexních vektorů. V případě reálných čísel ji je možné v n-rozměrném eukleidovském prostoru interpretovat jako horní mez maximálního možného objemu rovnoběžnostěnu vymezeného n vektory v_i vzhledem k jejich délkám ||v_i||.

Hadamardova nerovnost říká, že pokud je V matice se sloupci v_i, pak :|\det(V)|\le \prod_{i=1}^n \|v_i\|, a rovnosti je dosaženo pouze v těch případech, kdy jsou na sebe vektory kolmé a nebo je některý ze sloupců roven nulovému vektoru.

Důsledky

Jedním z důsledků je, že pokud jsou prvky čtvercové matice V řádu n menší nebo rovny mezi B, tedy |V_{ij}|\le B pro všechna i,j, pak :|\det(V)|\le B^nn^{n/2}. Jsou-li speciálně prvky matice rovny jen +1 a −1, pak :|\det(V)|\le n^{n/2}. +more Matice, pro které v tomto případě platí rovnost, se nazývají Hadamardovy matice.

Reference

Kategorie:Lineární algebra