Hlavní hodnota integrálu

Hlavní hodnota integrálu je metoda určování hodnot některých integrálů, které nelze standardně definovat. V závislosti na typu singularity vyskytující se v integrálu je hlavní hodnota definována jako konečné číslo: * \lim_{\varepsilon\rightarrow 0+} \left[\int_a^{b-\varepsilon} f(x)\,dx+\int_{b+\varepsilon}^c f(x)\,dx\right]

:kde b je bod, ve kterém má funkce f následující vlastnosti:

::\int_a^b f(x)\,dx=\pm\infty

:pro libovolné a \int_b^c f(x)\,dx=\mp\infty

:pro libovolné c > b (jedno znaménko je „+“ a druhé „−“).

nebo

* \lim_{a\rightarrow\infty}\int_{-a}^a f(x)\,dx

:kde

::\int_{-\infty}^0 f(x)\,dx=\pm\infty

:a

::\int_0^\infty f(x)\,dx=\mp\infty

:(opět je jedno znaménko „+“ a druhé „−“).

V některých případech je nutné vypořádat se najednou se singularitami v bodu b a zároveň v nekonečnu. To se dělá většinou

::\lim_{\varepsilon \rightarrow 0+}\int_{b-\frac{1}{\varepsilon}}^{b-\varepsilon} f(x)\,dx+\int_{b+\varepsilon}^{b+\frac{1}{\varepsilon}}f(x)\,dx.

Související články

Augustin Louis Cauchy

Kategorie:Integrální počet Kategorie:Augustin Louis Cauchy