Cesko.wiki Jacobiho matice (třídiagonální)
Author
Albert FloresJacobiho matice je reálná symetrická třídiagonální matice s kladnými prvky na horní a dolní sekundární diagonále.
Definice
Reálnou čtvercovou matici řádu k ve tvaru :\boldsymbol J = \begin{pmatrix} \alpha_1&\beta_2&&&\\ \beta_2&\alpha_2&\beta_3&&\\ &\beta_3&\ddots&\ddots&\\ &&\ddots&\ddots&\beta_k\\ &&&\beta_k&\alpha_k \end{pmatrix},\qquad\beta_i>0,\quad i=2,\ldots,k, nazýváme Jacobiho maticí. Speciálním (triviálním) případem je Jacobiho matice \boldsymbol J = (\alpha_1), k=1. +more Jacobiho matice mají řadu specifických vlastností.
Spektrální vlastnosti
Vlastní čísla
Vlastní čísla Jacobiho matic mají násobnost jedna. Stačí si uvědomit, že pro libovolné číslo \lambda jsou druhý až poslední řádek v matici \boldsymbol J_k-\lambda \mathbf I lineárně nezávislé: :\begin{pmatrix} \beta_2&\alpha_2-\lambda&\beta_3&&\\ &\beta_3&\ddots&\ddots&\\ &&\ddots&\ddots&\beta_k\\ &&&\beta_k& \alpha_k-\lambda \end{pmatrix} Odtud plyne, že \operatorname{rank}(\boldsymbol J-\lambda \mathbf I)\geq k-1. +more Protože matice je symetrická, odpovídá její hodnost počtu nenulových vlastních čísel (včetně násobností). Každé vlastní číslo \lambda má tudíž násobnost jedna.
Protože matice je symetrická, vlastní čísla jsou navíc reálná a můžeme je seřadit
:\lambda_1(\boldsymbol J)
Označíme-li \boldsymbol J' vedoucí hlavní podmatici matice \boldsymbol J řádu k-1, neboli
: \boldsymbol J = \left(\begin{array}{c|c}\boldsymbol J'&\left. \begin{array}{c}0\\\vdots\\0\\\beta_k\end{array}\right. +more\\ \hline \left. \begin{array}{cccc}0&\cdots&0&\beta_k\end{array}\right. &\alpha_k \end{array}\right),.
pak \boldsymbol J' je také Jacobiho matice. Vlastní čísla těchto dvou „po sobě jdoucích“ Jacobiho matic \boldsymbol J a \boldsymbol J' se striktně prokládají :\lambda_1(\boldsymbol J). +more Charakteristické polynomy dvou po sobě jdoucích Jacobiho matic nemají žádný společný kořen. To lze dokázat sporem; rozvojem determinantu \det(\boldsymbol J_k-\lambda\mathbf I) podle posledního řádku a indukcí podle rozměru matice.
Mimo jiné také platí, že Jacobiho matice \boldsymbol J a \boldsymbol J'nemohou být obě singulární.
Vlastní vektory
Jsou-li \lambda,\boldsymbol v vlastní číslo a jemu příslušný vlastní vektor Jacobiho matice \boldsymbol J, kde :\boldsymbol v=(v_1,v_2,v_3,\ldots,v_k)^\mathrm{T},\qquad \|\boldsymbol v\|\neq 0, pak * první prvek vlastního vektoru je nenulový, v_1 \neq 0, * poslední prvek vlastního vektoru je nenulový, v_k \neq 0, * libovolný dvouprvkový podvektor (v_\ell,v_{\ell+1}), \ell=1,\ldots,k-1, je nenulový. Všechna tři tvrzení lze dokázat sporem, prostým porovnáním prvků vektorů na obou stranách rovnosti :\begin{pmatrix} \alpha_1&\beta_2&&&\\ \beta_2&\alpha_2&\beta_3&&\\ &\beta_3&\ddots&\ddots&\\ &&\ddots&\ddots&\beta_k\\ &&&\beta_k&\alpha_k \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_1\\v_2\\v_3\\\vdots\\v_k \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} v_1\\v_2\\v_3\\\vdots\\v_k \end{pmatrix}\lambda. +more Z předpokladu v_1=0 a porovnání prvních prvků :\alpha_1v_1 + \beta_2v_2 = v_1\lambda plyne v_2=0 (neboť \beta_2>0). Indukcí pak vyplývá v_1=v_2=\ldots=v_k=0, což je ve sporu s \|\boldsymbol v\|\neq0.
Užití k výpočtu vlastních čísel symetrických a hermitovských matic
Pro každou reálnou symetrickou matici \boldsymbol A\in\mathbb{R}^{k\times k}, \boldsymbol A=\boldsymbol A^\mathrm{T}, existuje ortogonální matice \boldsymbol G\in\mathbb{R}^{k\times k}, \boldsymbol G^{-1}=\boldsymbol G^\mathrm{T}, taková, že
: \boldsymbol{GAG}^\mathrm{T}=\boldsymbol J_\oplus,\qquad \text{kde} \qquad \boldsymbol J_\oplus = \left(\begin{array}{cccc}\boldsymbol J_1\\&\boldsymbol J_2\\&&\ddots\\&&&\boldsymbol J_s\end{array}\right), \quad \boldsymbol J_\ell\in\mathbb{R}^{k_\ell\times k_\ell}, \quad \sum_{\ell=1}^s k_\ell = k
a kde \boldsymbol J_\ell jsou Jacobiho matice. Matici \boldsymbol G lze přitom zkonstruovat v konečném čase, tj. +more pomocí konečného počtu elementárních aritmetických operací (sčítání, odečítání, násobení, dělení a výpočtu druhé odmocniny).
Obdobně pro každou hermitovskou matici \boldsymbol A\in\mathbb{C}^{k\times k}, \boldsymbol A=\boldsymbol A^\mathrm{H} , existuje unitární matice \boldsymbol G\in\mathbb{C}^{k\times k}, \boldsymbol G^{-1}=\boldsymbol G^\mathrm{H} taková, že
: \boldsymbol{GAG}^\mathrm{H}=\boldsymbol J_\oplus
je stejná matice jako v předchozím případě. Speciálně je matice \boldsymbol J_\oplus reálná symetrická i v případě komplexní hermitovské matice \boldsymbol A.
Vlastnosti matice \boldsymbol J_\oplus
Matice \boldsymbol J_\oplus je stále třídiagonální, obecně však už není Jacobiho maticí, protože prvky bezprostředně nad diagonálou nebo bezprostředně pod ní mohou být nulové. Transformační matici \boldsymbol G lze vždy zvolit tak, že
: k_1\geq k_2 \geq \cdots \geq k_s\qquad \text{a} \qquad \operatorname{sp}\boldsymbol J_1\supseteq\operatorname{sp}\boldsymbol J_2\supseteq\cdots\supseteq\operatorname{sp}\boldsymbol J_s,
kde \operatorname{sp}\boldsymbol M značí spektrum matice \boldsymbol M. Jacobiho matice \boldsymbol J_1 obsahuje všechna vlastní čísla původní matice \boldsymbol A, přičemž každé jen jednou, jak plyne z vlastností Jacobiho matic. +more Číslo s je dimenzí největšího vlastního podprostoru (eigenspace), tj. s je největší násobností některého z vlastních čísel matice \boldsymbol A.
Konstrukce matice \boldsymbol G v konečném čase
Význam Jacobiho matic spočívá v možnosti spočítat ortogonální, resp. unitární matice \boldsymbol G v konečném čase. +more Přestože je diagonalizovatelnost matice \boldsymbol A vždy zaručena, protože symetrické, resp. hermitovské matice jsou normální a proto ortogonálně, resp. unitárně diagonalizovatelné, tato diagonalizace však obecně není proveditelná v konečném čase. Např. už jen z toho důvodu, že vlastní čísla coby kořeny charakteristického polynomu nemusí být možné vyjádřit v radikálech pro polynomy stupně alespoň 5 (viz též základní věta algebry).
Význam třídiagonalizace lze spatřovat v provedení dílčího výpočtu při hledání vlastních čísel symetrické, resp. hermitovské matice
: \boldsymbol A \; \longmapsto \; \boldsymbol J_\oplus \; \longmapsto \; \boldsymbol D = \mathrm{diag}(\lambda_1,\ldots,\lambda_k),
který lze provést v přesné aritmetice v konečném čase. Následná diagonalizace třídiagonální matice \boldsymbol J_\oplusvšak obecně vyžaduje iterační algoritmus s limitní konvergencí, typicky některou z variant QR algoritmu.
Matice \boldsymbol G a \boldsymbol J_\oplus lze zkonstruovat např. pomocí dobře známého Lanczosova algoritmu (Lanczosovy tridiagonalizace).
Souvislosti
Jacobiho matice hrají klíčovou v řadě teoretických i praktických aplikací
* řetězově zlomky, * ortogonální polynomy, * Gaussova kvadratura, * Lanczosův algoritmus, * (částečný) problém vlastních čísel (symetrických matic), * metoda sdružených gradientů.