Cesko.wiki Kinetická energie při rotaci
Author
Albert Flores280px| Kinetická energie rotujícího tělesa je energie tělesa, které rotuje. Je dána součtem kinetických energií všech jeho částic.
Odvození vzorce
Ze skutečnosti, že energie rotujícího tělesa je dána součtem kinetických energií všech jeho částic (číslujeme horním indexem i), vyplývá, že celková energie tělesa bude
E_K=\sum_i E_K^i=\sum_i \frac{1}{2}m^i (\mathbf{v}^i)^2
Pomůžeme si vyjádřením rychlosti, pro kterou pro těleso rotující kolem počátku platí
\mathbf{v}^i=\mathbf{\omega}\times \mathbf{r}^i
kde \mathbf{\omega} je vektor úhlové rychlosti a \mathbf{r}^i je polohovým vektorem i-té částice.
Dosadíme a získáme
E_K=\sum_i \frac{1}{2}m^i(\mathbf{\omega}\times \mathbf{r}^i)^2=\sum_i \frac{1}{2}m^i \left(\mathbf{\omega}^2 (\mathbf{r}^i)^2 - (\mathbf{\omega} \cdot \mathbf{r}^i)^2\right)
Tento výraz lze zapsat i ve složkách a to takto:
E_K = \sum_{i,k,l} \frac{1}{2}m^i \left(\delta_{kl} (r^i)^2 - r^i_k r^i_l \right)\omega_k \omega_l
Využijeme-li definice tenzoru momentu setrvačnosti I_{kl}
I_{kl} = \sum_{i} m^i \left(\delta_{kl} (r^i)^2 - r^i_k r^i_l \right),
lze pak energii rotujícího tělesa vyjádřit v kompaktním tvaru:
E_K =\frac{1}{2} \sum_{kl} I_{kl} \, \omega_k \omega_l
Protože je tenzor setrvačnosti symetrický existuje vždy taková soustava souřadnic, ve které je diagonální. Jeho složky na diagonále v této soustavě označme J_x, J_y, J_z, pak tedy platí:
E_K =\frac{1}{2} (J_x \omega_x^2+ J_y \omega_y^2 + J_z \omega_z^2)
Kde \omega_x, \omega_y, \omega_z jsou složky vektoru úhlové rychlosti v této soustavě.
Často se zajímáme pouze o rotaci vůči pevné ose, tedy ose jejíž poloha se v tělese nemění. V tomto případě definujeme skalární moment setrvačnosti J vůči této ose jako
J= \sum_{kl} I_{kl} n_k n_l,
kde \mathbf{n}=(n_1,n_2,n_3) je jednotkový vektor mířící do směru osy. Tato definice se po dosazení za jednotlivé částice dá zapsat i jako
J = \sum_i m^i (s^i)^2,
kde s^i je vzdálenost i-té částice od osy rotace.
Použitím definice J má pak výraz pro kinetickou energii velmi jednoduchý tvar
E_K = \frac{1}{2} J \omega^2.
Je tedy zřejmé, že J představuje analogii hmotnosti při rotaci kolem pevné osy.