Cesko.wiki Kleinova čtyřgrupa
Author
Albert FloresKleinova čtyřgrupa (také prostě Kleinova grupa, často značená V podle německého ) je grupa Z_2\times Z_2, direktní součin dvou kopií cyklické grupy řádu 2.
Historie
Název jí dal Felix Klein ve své práci z roku 1884.
Vlastnosti
Jedná se o nejmenší necyklickou grupu. Jediná další čtyřprvková grupa (až na izomorfismus) je cyklická grupa Z_4. +more Všechny prvky kromě neutrálního mají řád 2. Jedná se o komutativní (abelovskou) grupu.
Její Cayleyova tabulka je:
| wikitable | 1 | a | b | ab | |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | a | b | ab | |
| a | a | 1 | ab | b | |
| b | b | ab | 1 | a | |
| ab | ab | b | a | 1 |
Kleinova grupa je grupou symetrie obdélníka nebo kosočtverce (které nejsou zároveň čtverce), skládá se z totožnosti, dvou osových souměrností a středové souměrnosti. Někdy se jí říká i grupa matrace, protože také určuje všechny způsoby, jak obrátit (obdélníkovou) matraci.
Kleinova čtyřgrupa se také vyskytuje jako normální podgrupa alternující grupy A_4. Jejich faktor je tříprvková cyklická grupa C_3, co souvisí s řešitelností rovnic 4. +more stupně pomocí radikálů (viz Galoisova teorie).