Laguerrovy polynomy

Laguerrovy polynomy, pojmenované po Edmondu Laguerrovi (1834 - 1886), je jeden z ortogonálních systémů polynomů. Využívají se například v kvantové mechanice pro popis vlnové funkce odpovídající stavům atomu vodíku.

Definice

Laguerrovy polynomy se obvykle definují jako soustava reálných polynomů ortogonálních vůči skalárnímu součinu :(p,q)\mapsto \int\limits_0^\infty p(x) q(x) e^{-x} dx, přičemž n-tý Laguerrův polynom L_n(x) je polynom stupně n

Obecnějším způsobem jako soustavu polynomů ortogonálních vůči skalárnímu součinu :(p,q)\mapsto \int\limits_0^\infty p(x) q(x) x^a e^{-x} dx s a>-1 získáme zobecněné či přidružené Laguerrovy polynomy L_n^{(a)}(x).

Další vztahy pro Laguerrovy polynomy L_n(x) a L_n^{(a)}, které se někdy uvádějí jako definice, jsou :L_n(x) = \frac{e^x}{n. } \frac{\mathrm{d}^n}{\mathrm{d}x^n}(x^n \mathrm{e}^{-x}), :L_n^{(a)}(x) = \frac{x^{-a} \mathrm{e}^x}{n. +more} \frac{\mathrm{d}^n}{\mathrm{d}x^{n}}(x^{n+a}\mathrm{e}^{-x}).

Explicitně se dají definovat vztahy :L_n(x)=\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}\frac{(-1)^k}{k!} x^k, :L_n^{(a)} (x) = \sum_{k=0}^n (-1)^k {n+a \choose n-k} \frac{x^k}{k!}.

Někteří autoři definují Laguerrovy polynomy zvětšené faktorem n!: :L_n(x) = \sum_{k=0}^n {(-1)}^k \frac{n^2{(n-1)}^2\cdots{(k+1)}^2}{(n-k)!}x^k.

Vlastnosti

Laguerrovy polynomy L_n(x) jsou kanonickými řešeními Laguerrovy diferenciální rovnice :x y^{\prime\prime}+(1-x)y^\prime+ny=0

Libovolné polynomiální řešení této rovnice je součtem Laguerrových polynomů.

Laguerrovy polynomy v nízkých dimenzích

Prvních šest Laguerrových polynomů

Následuje tabulka prvních několika Laguerrových polynomů:

Reference

Související články

Ortogonální polynomy

Externí odkazy

Kategorie:Lineární algebra Kategorie:Ortogonální polynomy