Cesko.wiki Legendrovy polynomy
Author
Albert FloresPrvních šest Legendrových polynomů Legendrovy polynomy P_n(x), \, n = 0, 1, 2,... jsou polynomy reálné proměnné x definované na intervalu \langle -1, 1 \rangle, které popsal Adrien-Marie Legendre roku 1782. Přitom P_n(x) je polynom stupně n. Legendrovy polynomy se používají především v matematické fyzice a lze je definovat několika různými vzájemně ekvivalentními způsoby. Jedním z nich je požadovat, aby # pro n \ne m platilo \int_{-1}^1 P_m(x) P_n(x)\,dx = 0 (podmínka vzájemné ortogonality Legendrových polynomů); # pro každé n = 0, 1, 2,... platilo P_n(1) = 1 (normující podmínka).
Legendrovy polynomy jsou zvláštním případem Gegenbauerových polynomů, které zase jsou zvláštním případem Jacobiho polynomů, jednoho z klasických polynomiálních systémů matematiky. Legendrovy polynomy sudého stupně jsou sudé funkce a Legendrovy polynomy lichého stupně jsou liché funkce.
Prvních několik Legendrových polynomů je:
:P_0(x)=1 :P_1(x)=x :P_2(x)=\tfrac{1}{2}(3x^2-1) :P_3(x)=\tfrac{1}{2}(5x^3-3x) :P_4(x)=\tfrac{1}{8}(35x^4-30x^2+3) :P_5(x)=\tfrac{1}{8}(63x^5-70x^3+15x)
Vlastnosti
Rodriguesova formule a její důsledky
Pro Legendrovy polynomy platí Rodriguesova formule (1818)
:P_n(x) = \frac{1}{2^n n!} \frac{d^n}{dx^n} (x^2 -1)^n \,
jež umožňuje odvodit další vzorce, vyjadřující tyto polynomy explicitně, například :\begin{align} P_n(x)&= \frac{1}{2^n} \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}^2 (x-1)^{n-k}(x+1)^k, \\ P_n(x)&=\sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \binom{n+k}{k} \left( \frac{x-1}{2} \right)^k, \\ P_n(x)&=\frac1{2^n}\sum_{k=0}^{[\frac n2]}(-1)^k\binom nk\binom{2n-2k}n x^{n-2k},\\ P_n(x)&= 2^n \sum_{k=0}^n x^k \binom{n}{k} \binom{\frac{n+k-1}{2}}{n}, \end{align}
Generující funkce a rekurentní vztah
Legendre své polynomy původně definoval pomocí generující funkce, tedy jako koeficienty Taylorova rozkladu:
:\frac{1}{\sqrt{1-2xt+t^2}} = \sum_{n=0}^\infty P_n(x) t^n \,.
Derivováním této rovnice podle t a algebraickými úpravami lze odvodit Bonnetovu rekurzivní formuli
: (n+1) P_{n+1}(x) = (2n+1) x P_n(x) - n P_{n-1}(x)\,.
Legendre své polynomy objevil v souvislosti se studiem Newtonova potenciálu (gravitační potenciál hmotného bodu nebo Coulombův potenciál bodového náboje), který lze rozložit na sumu těchto polynomů: : \frac{1}{\left| \mathbf{x}-\mathbf{x}' \right|} = \frac{1}{\sqrt{r^2+{r'}^2-2r{r'}\cos\gamma}} = \sum_{\ell=0}^\infty \frac{{R'}^\ell}{r^{\ell+1}} P_\ell(\cos \gamma),
kde r a r′ jsou délky vektorů x a x′ a γ je úhel mezi těmito vektory. Vyjádření může být užitečné například integrujeme-li potenciál přes spojitou distribuci hmoty nebo náboje.
Legendrova diferenciální rovnice a úplnost
Legendrovy polynomy jsou řešeními diferenciální rovnice, pojmenované rovněž po Legendrovi: : \frac{d}{dx}\left[\left(1-x^2\right) \frac{dP_n(x)}{dx}\right] + n(n+1) P_n(x) = 0\,.
Z toho plyne, že tyto polynomy jsou vlastními vektory odpovídajícího diferenciálního operátoru: :\frac{d}{dx} \left( \left(1-x^2\right) \frac{d}{dx} \right) P(x) = -\lambda P(x) \, z čehož lze dále podle Sturmovy-Liouvilleovy teorie odvodit, že jde o úplný a ortogonální systém polynomů na definičním intervalu.
Jako úplný a ortogonální systém polynomů mají Legendrovy polynomy tyto vlastnosti:
:\int_{-1}^1 P_m(x) P_n(x)\,dx = \frac{2}{2n + 1} \delta_{mn},
kde \delta_{mn} je Kroneckerovo delta, rovné jedné, pokud m = n, a nule jinak.
Máme-li po částech spojitou funkci f(x) na intervalu \langle -1, 1 \rangle, tak suma
: f_n(x) = \sum_{\ell=0}^n a_\ell P_\ell(x)
konverguje v průměru k f(x) pro n \to \infty , pokud vezmeme koeficienty jako
: a_\ell = \frac{2\ell + 1}{2} \int_{-1}^1 f(x) P_\ell(x)\,dx.
