Lieova závorka

Technology

12 hours ago

Author

Lieova závorka je operátor, který přiřazuje kterýmkoliv dvěma vektorovým polím X a Y na hladké varietě M, třetí vektorové pole označované [X, Y]. Lieova závorka vystihuje nekomutativitu toků generovanými těmito poli.

Lieova závorka [X, Y] je derivace vektorového pole Y podél toku vytvořeného polem X. Zobecněním Lieovy závorky je derivace, která umožňuje diferenciaci jakéhokoli tenzorového pole podél toku vytvořeného X. +more Lieova závorka [X, Y] se rovná Lieově derivaci vektoru Y (která je tenzorovým polem) podél X, a je označována: :[X,Y] =\mathcal{L}_X Y čteme: Lieova derivace Y podél X.

Každé vektorové pole X na hladké varietě M může být považováno za diferenciální operátor působící na hladké funkce na M. Ve skutečnosti, každé hladké vektorové pole X se stává derivací hladkých funkcí C∞(M) pokud definujeme X(f) jako element C∞(M)

Lieova závorka [X, Y] dvou hladkých vektorových polí X a Y je hladké vektorové pole [X, Y], takové že platí: :[X,Y](f) = X(Y(f))-Y(X(f)) \;\;\text{ pro každou } f\in C^\infty(M).

Vlastnosti Lieovy závorky

[X,Y]=-[Y,X]\, To je antisymetrie * [X,[Y,Z]]+[Z,[X,Y]]+[Y,[Z,X]]=0. \, To je Jacobiho identita. +more * [rX + Y,Z] = r[X,Z] + [Y,Z], pro každé r\in \mathbb{R} To je linearita * [X,fY] = f[X,Y] + X[f]Y,.