Cesko.wiki Limes superior a limes inferior
Author
Albert FloresPostupné přibližování \sup_{m\ge n} x_m k \limsup x_n a obdobně pro limes inferior V matematice, zejména v matematické analýze, se pod limes superior a limes inferior dané posloupnosti rozumí její omezení seshora, respektive zespoda, „v nekonečnu“, tedy hodnota, přes, respektive pod, kterou se posloupnost dostane pouze v konečně mnoha případech, ale které se skutečně nekonečně jejích hodnot nekonečně blízko blíží, nebo jí dokonce nabývají. Jedná se o největší respektive nejmenší hromadný bod dané posloupnosti.
Uvažují se nejčastěji v reálných číslech.
Případ posloupností v reálných číslech
Formální definice
Buď (a_n) reálná posloupnost. Je-li (a_n) shora ohraničená, klademe limes superior :\limsup a_n := \lim_{n\to\infty}\left(\sup_{k\ge n} a_k\right) V opačném případě klademe \limsup a_n = \infty.
Je-li (a_n) zdola ohraničená, klademe limes inferior :\liminf a_n := \lim_{n\to\infty}\left(\inf_{k\ge n} a_k\right) V opačném případě klademe \liminf a_n = -\infty.
Limes superior a limes inferior tedy pro reálná čísla nabývají hodnoty z množiny rozšířených reálných čísel.
Vlastnosti
Limes superior a limes inferior vždy existují (na rozdíl například od limity, která existovat nemusí) * Limita posloupnosti a_n existuje právě tehdy, když \liminf_{n\to\infty} a_n = \limsup_{n\to\infty} a_n. * \liminf_{n\rightarrow\infty}a_n\leq\limsup_{n\rightarrow\infty}a_n * -\liminf_{n\to\infty} a_n = \limsup_{n\to\infty} (-a_n).
