Logaritmická spirála

Technology

12 hours ago

Author

Albert Flores

Logaritmická spirála

Logaritmická spirála je rovinná křivka (spirála), jejíž poloměr roste exponenciálně s velikostí úhlu.

V polární soustavě souřadnic (r, \theta) lze tuto spirálu zapsat rovnicí

:r = ae^{b\theta},

nebo ekvivalentně

:\theta = \frac{1}{b} \ln(r/a),

kde

:a, b > 0 a e je Eulerovo číslo.

Vlastnosti

Důležitými body jsou pól a počátek. * Pól je bod, kolem kterého se spirála „ovíjí“. +more Pro neposunutou spirálu se nachází v bodě [0,0] souřadné soustavy. * Počátek spirály je bod, od kterého se začíná spirála vykreslovat. Pro neposunutou spirálu se nachází v bodě [a, 0].

Paprsek vycházející z pólu spirály protíná spirálu v bodech, jejichž vzdálenosti od pólu tvoří geometrickou posloupnost.

Tečný úhel je definován jako úhel, který svírá pro daný bod spirály vektor poloměru s tečnou ve stejném bodě. Spojnice pólu spirály a libovolného jejího bodu protíná logaritmickou spirálu vždy pod stejným tečným úhlem. +more Proto se logaritmická spirála také nazývá ekviangulární (rovnoúhlá) spirála (René Descartes, 1638).

Další možné vyjadření rovnice logaritmické spirály získáme jednoduchou úpravou:

:\ln (r/a) = b \theta

Z tohoto vztahu také vznikl název „logaritmická spirála“.

Logaritmické spirály v přírodě

Výsledkem některých přírodních jevů jsou útvary, které se podobají logaritmickým spirálám. Zde je výčet několika příkladů: * Dráha, po níž se draví ptáci (sokoli) přibližují ke své kořisti. +more Rovnoúhlost spirály jim umožňuje pozorovat kořist pod stálým úhlem.

* Dráha, po níž se hmyz přibližuje ke zdroji světla.

* Ramena spirálních galaxií. Galaxie Mléčná dráha má několik spirálních ramen; každé rameno zhruba odpovídá logaritmické spirále se sklonem asi 12 stupňů.

* Pásy oblačnosti tvořící se ve středu tropických cyklón.

* Řada biologických útvarů, například schránky měkkýšů.