Cesko.wiki Mayerův vztah
Author
Albert FloresMayerův vztah popisuje souvislost mezi molárními tepelnými kapacitami při konstantním tlaku a při konstantním objemu, platný přesně pro ideální plyn. Je pojmenován po svém objeviteli, německém fyzikovi Juliu von Mayerovi.
Pro ideální plyn nabývá známého tvaru: : c_p = c_V + R_m, kde: : R_m je molární plynová konstanta (zhruba 8,314 J·K−1·mol−1), : c_p je měrná molární tepelná kapacita při stálém tlaku a : c_V je měrná molární tepelná kapacita při stálém objemu. Pro obecný termodynamický systém jednotkového látkového množství platí: :C_{P} - C_{V}= V T\frac{\alpha^{2}}{\beta_{T}}, kde: : \alpha je teplotní roztažnost, : \beta_{T} izotermická stlačitelnost a : V, T jsou objem a termodynamická teplota.
Odvození pro ideální plyn
C_p - C_V = \left( \frac{\partial H}{\partial T}\right)_p - \left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_V = \left( \frac{\partial (U+pV)}{\partial T}\right)_p - \left( \frac{\partial U}{\partial T}\right)_V = \left( \frac{\partial U}{\partial T}\right)_p + p\left( \frac{\partial V}{\partial T}\right)_p - \left( \frac{\partial U}{\partial T}\right)_V
Entalpie H je definována vztahem
H = U + pV
kde U je vnitřní energie soustavy, p je její tlak a V objem.
Vnitřní energie je funkcí teploty a objemu, tudíž \left(\frac {\partial U}{\partial T}\right)_p je nutno přepsat jako \left( \frac{\partial U(T,V(p,T))}{\partial T}\right)_p
\left( \frac{\partial U(T,V(p,T))}{\partial T}\right)_p = \left( \frac{\partial U}{\partial T}\right)_V + \left( \frac{\partial U}{\partial V}\right)_T\left( \frac{\partial V}{\partial T}\right)_p
Po dosazení do odvození dostaneme
C_p - C_V = p\left(\frac {\partial V}{\partial T}\right)_p + \left( \frac{\partial V}{\partial T}\right)_p\left(\frac {\partial U}{\partial V}\right)_T = \left(\frac {\partial V}{\partial T}\right)_p \left[p+\left( \frac{\partial U}{\partial V}\right)_T \right]
Z diferenciálu definice vnitřní energie a Maxwellových relací dostaneme
\left( \frac{\partial U}{\partial V}\right)_T = T\left(\frac {\partial S}{\partial V}\right)_p - p = T\left(\frac {\partial p}{\partial T}\right)_V - p
Dalším dosazením do odvození se výraz změní na
C_p - C_V = T\left(\frac {\partial V}{\partial T}\right)_p\left(\frac {\partial p}{\partial T}\right)_V
Ze vzorce derivace implicitní funkce
\left(\frac {\partial V}{\partial T}\right)_p\left(\frac {\partial T}{\partial p}\right)_V\left(\frac {\partial p}{\partial V}\right)_T = -1
vyjádříme
\left(\frac {\partial V}{\partial T}\right)_p=-\frac{\left(\frac {\partial p}{\partial T}\right)_V}{\left(\frac {\partial p}{\partial V}\right)_T}
Opět dosadíme
C_p - C_V = -T\frac{\left(\frac {\partial p}{\partial T}\right)^2_V}{\left(\frac {\partial p}{\partial V}\right)_T}
Ze stavové rovnice ideálního plynu
pV = nRT
vyjádříme
p=\frac{nRT}{V}
a
\left(\frac {\partial p}{\partial T}\right)_V = \frac{nR}{V}; \left(\frac {\partial p}{\partial V}\right)_T = -\frac {nRT}{V^2}
Znovudosazením do odvození
C_p - C_V = -T\frac{\left(\frac{n^2R^2}{V^2}\right)}{\left(-\frac {nRT}{V^2}\right)}
dostaneme výsledný Mayerův vztah
C_p - C_V = nR
c_pn - c_Vn = nR
c_p - c_V = R