Newtonova interpolace

199x199pixelů

Chceme-li aproximovat funkci danou svými body x_0 \cdots x_n (tzv. uzly interpolace), a požadujeme aby interpolace procházela zadanými body, použijeme aproximaci interpolačním polynomem. +more Tato interpolace nám poslouží k získání přibližné hodnoty funkce v libovolném bodě intervalu .

Tvar Newtonova interpolačního polynomu:

N_n(x)=a_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0)(x-x_1)+... +a_n(x-x_0)(x-x_1)...(x-x_{n-1})

Koeficienty a_0 \cdots a_n lze vypočítat pomocí poměrných diferencí. (viz níže)

Sestavení tabulky poměrných diferencí

V každém sloupci tabulky se budou nacházet poměrné diference daného řádu. Diferencemi 0. řádu budou přímo funkční hodnoty v bodech x_i.

Poměrné diference 1. řádu vyjádříme:

f[x_i,x_{i+1}] = \frac{f(x_{i+1})-f(x_i)}{x_{i+1}-x_i}

Poměrné diference 2. řádu vyjádříme:

f[x_i,x_{i+1},x_{i+2}] = \frac{f[x_{i+1},x_{i+2}]-f[x_i,x_{i+1}]}{x_{i+2}-x_i}

Ostatní diference vyjádříme analogicky.

Příklad konstrukce Newtonova interpolačního polynomu

Hledáme polynom procházející body: [-2,-39], [0,3], [1,6], [3,36]

P_3(x) = a_0 + a_1(x-x_0) + a_2(x-x_0)(x-x_1) + a_3(x-x_0)(x-x_1)(x-x_2)

P_3(x) = -39 +21(x+2) -6(x+2)x +2(x+2)x(x-1)

Vlastnosti interpolační metody

Newtonův interpolační polynom má tu výhodu, že je pro něj oproti Lagrangeově interpolaci výpočetně méně náročné přidat jeden bod, protože některé výpočty zůstanou beze změny (například předchozí koeficienty a_k se nezmění).

Související články

Lagrangeova interpolace * Metoda nejmenších čtverců * Geometrie - více informací o křivkách

Reference

Externí odkazy

Newtonův interpolační polynom: [url=http://kfe.fjfi.cvut.cz/~limpouch/numet/aprox/node5.html]http://kfe.fjfi.cvut.cz/~limpouch/…[/url]

Kategorie:Údržba:Články s referencemi v nadpisech Kategorie:Geometrie