Neúplná gama funkce

Neúplná gama funkce je označení dvojice matematických funkcí odvozených z definice gama funkce. Jejich definicí je integrál ze stejné funkce, kterou je definována gama funkce, liší se pouze jeho meze, z nichž jedna je vždy druhým z argumentů neúplné gama funkce.

Definice

Horní gama funkce je definována předpisem

: \Gamma(s,x) = \int_x^{\infty} t^{s-1}\,e^{-t}\,{\rm d}t ,\,\!

Dolní gama funkce je definována předpisem

: \gamma(s,x) = \int_0^x t^{s-1}\,e^{-t}\,{\rm d}t .\,\!

Vlastnosti

Pro komplexní parametr s s reálnou složkou kladnou platí na základě pravidla per partes následující rekurentní vztahy:

:\Gamma(s+1,x)= s\Gamma(s,x) + x^{s} e^{-x}

a

: \gamma(s+1,x) =s\gamma(s,x) - x^{s} e^{-x}.

Protože gama funkce je definována

: \Gamma(s) = \int_0^{\infty} t^{s-1}\,e^{-t}\,{\rm d}t

platí také : \Gamma(s) = \Gamma(s,0) = \lim_{x\to\infty} \gamma(s,x) a : \gamma(s,x) + \Gamma(s,x) = \Gamma(s).

Reference

Externí odkazy

Kategorie:Komplexní analýza