Noetherovský okruh

Noetherovský okruh je pojem z algebry, z teorie okruhů, pojmenovaný po Emmy Noetherové. Jedná se o takový okruh, který neobsahuje shora neomezený řetězec do sebe vnořených ideálů, tedy pro každý řetězec ideálů

:I_1\subseteq\cdots I_{k-1}\subseteq I_{k}\subseteq I_{k+1}\subseteq\cdots

existuje nějaký index n, že:

:I_{n}=I_{n+1}=I_{n+2}=\cdots

Alternativní definice říká, že noetherovský je takový okruh, ve kterém je každý ideál konečně generovaný.

Při změně směru inkluzí v definici (tj. požadavku, že každý klesající řetězec ideálů je konečný) získáme artinovský okruh. +more Všechny artinovské okruhy jsou zároveň noetherovské a jejich struktura je méně různorodá než okruhů noetherovských.

Příklady

Libovolné těleso je noetherovský okruh, protože má jen triviální ideály. * Obor celých čísel je noetherovský. +more * Libovolný obor hlavních ideálů je noetherovský. * Libovolný okruh polynomů v konečném počtu proměnných nad noetherovským okruhem je noetherovský.

Naopak mezi noetherovské okruhy nepatří:

* Okruh polynomů v nekonečném počtu proměnných nad libovolným okruhem. * Okruh všech algebraických čísel.

Kategorie:Teorie okruhů