Oktonion

Technology

12 hours ago

Author

Oktonion je matematický pojem, který označuje osmidimenzionální číselnou jednotku. Poprvé byl zaveden irským matematikem Johnem T. Gravesem v roce 1843. Oktoniony jsou členy algebry oktonionů, která je nealgebraickou rozšířením komplexních čísel a kvaternionů. Algebra oktonionů se od ostatních algeber liší v několika významných aspektech. Jedním z nich je nekomutativita, což znamená, že ve všeobecnosti platí, že a * b ≠ b * a pro libovolné nenulové oktoniony a a b. Dalším důležitým rozdílem je zánik sčítání, což znamená, že neexistují nuly oktonionů, a proto se oktoniony samy o sobě nesčítají. Oktoniony mají také specifické vlastnosti, které je odlišují od jiných algeber. Jsou například formálně definovány jako anizotropní, což znamená, že neexistují kolmice oktonionu. Jsou také asociativní vzhledem k násobení, což znamená, že platí a * (b * c) = (a * b) * c pro libovolné oktoniony a, b a c. Oktoniony mají různé aplikace v matematice i fyzice. Například se používají v teorii strun, kalibrační teorii a kvantové mechanice. Mají také geometrický význam a jsou spojeny s Cayley-Dicksonovou konstrukcí. Vzhledem k jejich složitosti jsou oktoniony obsáhlým a komplexním matematickým tématem, které vyžaduje pokročilé znalosti algebry a matematické analýzy.

V matematice se pojmem oktoniony označuje neasociativní rozšíření kvaternionů. Tvoří osmidimenzionální algebru nad reálnými čísly, nejstarší známý příklad neasociativního okruhu.

Oktoniony tvoří poslední, a tudíž nejobecnější typ tzv. normovaných algeber s dělením (též nazývané Hurwitzovy algebry). +more Je překvapivé, že existují právě jen čtyři takové algebry: reálná čísla, komplexní čísla, kvaterniony a oktoniony. Principiální rozdíl mezi vektorovými prostory a Hurwitzovými algebrami spočívá právě v operaci dělení: zatímco u vektorů operaci dělení dvou vektorů vůbec nezavádíme (neexistuje), u normovaných algeber s dělením (vzájemně jednoznačná a invertibilní) operace dělení existuje. Hurwitzovy algebry však existují jen ve čtyřech výlučných dimenzích: 1, 2, 4, 8. Dimenze 8 má tedy určité unikátní vlastnosti, dané unikátními vlastnostmi oktonionů. Zatímco reálná čísla, komplexní čísla a kvaterniony mají těsný vztah k regulárním Lieovým grupám typu A, B, C, D, oktoniony mají těsný vztah k tzv. výlučným Lieovým grupám typu G2, F4, E6, E7, E8. Řada teoretických fyziků proto oprávněně usuzuje též na hlubokou roli oktonionů ve fyzice, zejména částicové.

Zřejmě kvůli neasociativnosti, která je zdánlivě „nefyzikální“, jsou oktoniony dosud méně známé i používané než kvaterniony.

Mírou narušení komutativního a asociativního zákona jsou u oktonionů veličiny zvané komutátor a asociátor.

Historie

Oktoniony byly popsány v roce 1843 Johnem T. +more Gravesem, nezávisle na něm je publikoval i Arthur Cayley v roce 1845. Proto jsou někdy nazývány Cayleyova čísla.

Definice

Na oktoniony lze nahlížet jako na osmice reálných čísel, pro které je však - na rozdíl od vektorů - definována vzájemně jednoznačná a invertibilní operace dělení. Každý oktonion je lineární kombinací jednotek, kterými jsou 1, i, j, k, l, li, lj, lk. +more Oktonion x se dá tedy zapsat ve tvaru :x = x0 + x1 i + x2 j + x3 k + x4 l + x5 li + x6 lj + x7 lk. kde xa jsou reálná čísla.

Oktoniony se sčítají tak, že se sečtou odpovídající složky (tak jako u komplexních čísel či u kvaternionů), násobí se podle následující tabulky.

1	i	j	k	l	li	lj	lk
i	−1	k	−j	−li	l	−lk	lj
j	−k	−1	i	−lj	lk	l	−li
k	j	−i	−1	−lk	−lj	li	l
l	li	lj	lk	−1	−i	−j	−k
li	−l	−lk	lj	i	−1	−k	j
lj	lk	−l	−li	j	k	−1	−i
lk	−lj	li	−l	k	−j	i	−1