Presburgerova aritmetika

Presburgerova aritmetika je jeden z axiomatických systémů formální teorie aritmetiky. Je podstatně slabší než Peanova aritmetika, zejména proto, že v jazyce neobsahuje symbol pro násobení. Pojmenována je po polském matematikovi Mojżeszi Presburgerovi, který tuto axiomatiku publikoval v roce 1929.

Axiomy

Presburgerova aritmetika je teorie v jazyce L obsahujícím konstantní symbol 0, unární funkční symbol S a binární funkční symbol +. Axiomy jsou následující: * (PR1) \,0\neq S(x) * (PR2) \,S(x)=S(y)\rightarrow x=y * (PR3) \,x+0=x * (PR4) \,x+S(y)=S(x+y) * (schéma indukce) \varphi(0) \wedge (\forall x)(\varphi(x)\rightarrow\varphi (S(x)))\rightarrow (\forall x)(\varphi(x)) pro všechny formule \varphi jazyka L

Vlastnosti

Presburgerova aritmetika je bezesporná, úplná a rozhodnutelná teorie * Každá formule jazyka L je v Presburgerově aritmetice ekvivalentní nějaké formuli, která je jednoho ze tří tvarů t=s,\; (\exists z)(t+z=s),\;(\exists z)(t=s+mz), kde t,s jsou termy a m numerál (tj. term vzniklý m-násobnou aplikací funkčního symbolu S na konstantní symbol 0).

Související články

Robinsonova aritmetika * Peanova aritmetika

Kategorie:Matematická logika Kategorie:Aritmetika